Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace.
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=4 t, y(0)=1, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais; os dados são:
y''-y'-2y=4t,\qquad y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
A questão pede encontrar y(t) que satisfaz essa equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 2

Vamos usar a transformada de Laplace para transformar a EDO em uma equação algébrica em s. Primeiro, o que é a transformada de Laplace e as fórmulas que vamos precisar:
  • Definição: para uma função f(t) de crescimento apropriado,
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f+b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Transformadas de derivadas (para y com condições iniciais dadas):
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
  • Transformada de t: \mathcal{L}\{t\}(s)=\dfrac{1}{s^{2}}.
Vou aplicar essas fórmulas com y(0)=1 e y'(0)=0.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace termo a termo à equação
y''-y'-2y=4t,
obtemos
\mathcal{L}\{y''\}-\mathcal{L}\{y'\}-2\mathcal{L}\{y\}=\mathcal{L}\{4t\}.
Substituindo as fórmulas das derivadas e a transformada de t:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)-\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)-2Y(s)=4\cdot\frac{1}{s^{2}}.
Agora coloque y(0)=1 e y'(0)=0:
\bigl(s^{2}Y(s)-s\bigr)-\bigl(sY(s)-1\bigr)-2Y(s)=\frac{4}{s^{2}}.

Passo 4

Agrupando os termos que contêm Y(s) e os termos independentes:
\bigl(s^{2}-s-2\bigr)Y(s)+(-s+1)=\frac{4}{s^{2}}.
Isolando Y(s):
\bigl(s^{2}-s-2\bigr)Y(s)=\frac{4}{s^{2}}+s-1,
Y(s)=\frac{\dfrac{4}{s^{2}}+s-1}{s^{2}-s-2}.
Fatorando o denominador s^{2}-s-2=(s-2)(s+1), podemos escrever Y(s) com denominador comum. Multiplicando numerador e denominador por s^{2} para facilitar a decomposição em frações parciais:
Y(s)=\frac{s^{3}-s^{2}+4}{s^{2}(s-2)(s+1)}.

Passo 5

Fazemos a decomposição em frações parciais na forma
\frac{s^{3}-s^{2}+4}{s^{2}(s-2)(s+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s^{2}}+\frac{C}{s-2}+\frac{D}{s+1}.
Multiplicando ambos os lados por s^{2}(s-2)(s+1) obtemos a identidade
s^{3}-s^{2}+4 = A s (s-2)(s+1) + B (s-2)(s+1) + C s^{2}(s+1) + D s^{2}(s-2).
Agora determinamos A,B,C,D escolhendo valores convenientes de s e, se necessário, comparando coeficientes.
  • Para s=0:
4 = B\cdot(-2)\cdot 1 \quad\Rightarrow\quad B=-2.
  • Para s=2:
8 = C\cdot 4\cdot 3 \quad\Rightarrow\quad C=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}.
  • Para s=-1:
2 = D\cdot 1\cdot(-3) \quad\Rightarrow\quad D=-\frac{2}{3}.
  • Para achar A podemos usar s=1 (ou comparar coeficientes). Para s=1:
4 = -2A -2B +2C -D.
Substituindo B=-2, C=\tfrac{2}{3}, D=-\tfrac{2}{3}:
4 = -2A -2(-2) +2\cdot\frac{2}{3} -\Bigl(-\frac{2}{3}\Bigr) = -2A +4 +\frac{4}{3} +\frac{2}{3} = -2A +6.
Assim -2A+6=4 e segue A=1.
Portanto os coeficientes são
A=1,\qquad B=-2,\qquad C=\frac{2}{3},\qquad D=-\frac{2}{3}.

Passo 6

Reescrevendo Y(s) com esses coeficientes:
Y(s)=\frac{1}{s}-\frac{2}{s^{2}}+\frac{2/3}{s-2}-\frac{2/3}{s+1}.
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Lembrando:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}}\right\}=t,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
Aplicando isso:
y(t)=1-2t+\frac{2}{3}e^{2t}-\frac{2}{3}e^{-t}.

Passo 7

Vamos verificar rapidamente as condições iniciais para ter confiança na solução:
  • Avaliando em t=0:
y(0)=1-0+\frac{2}{3}-\frac{2}{3}=1,
coincide com y(0)=1.
  • Derivando y(t):
y'(t)=-2+\frac{4}{3}e^{2t}+\frac{2}{3}e^{-t},
então
y'(0)=-2+\frac{4}{3}+\frac{2}{3}=-2+2=0,
coincide com y'(0)=0.
As condições iniciais conferem, então a solução está correta.

Resposta

y(t)=1-2t+\dfrac{2}{3}e^{2t}-\dfrac{2}{3}e^{-t}

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