Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial com condições iniciais; os dados são:
A questão pede encontrar
que satisfaz essa equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Vamos usar a transformada de Laplace para transformar a EDO em uma equação algébrica em
. Primeiro, o que é a transformada de Laplace e as fórmulas que vamos precisar:
- Definição: para uma função
de crescimento apropriado,
- Linearidade:
. - Transformadas de derivadas (para
com condições iniciais dadas):
onde
.
- Transformada de
: .
Vou aplicar essas fórmulas com
e
.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace termo a termo à equação
obtemos
Substituindo as fórmulas das derivadas e a transformada de
:
Agora coloque
e
:
Passo 4
Agrupando os termos que contêm
e os termos independentes:
Isolando
:
Fatorando o denominador
, podemos escrever
com denominador comum. Multiplicando numerador e denominador por
para facilitar a decomposição em frações parciais:
Passo 5
Fazemos a decomposição em frações parciais na forma
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Agora determinamos
escolhendo valores convenientes de
e, se necessário, comparando coeficientes.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para achar
podemos usar (ou comparar coeficientes). Para :
Substituindo
,
,
:
Assim
e segue
.
Portanto os coeficientes são
Passo 6
Reescrevendo
com esses coeficientes:
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Lembrando:
Aplicando isso:
Passo 7
Vamos verificar rapidamente as condições iniciais para ter confiança na solução:
- Avaliando em
:
coincide com
.
- Derivando
:
então
coincide com
.
As condições iniciais conferem, então a solução está correta.