Exemplo 2.1.4. Calcule o valor da soma
S=1.2 3+2.3 4+cdots 48.49 50

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
S = 1cdot2cdot3 + 2cdot3cdot4 + cdots + 48cdot49cdot50
O conteúdo é soma de termos polinomiais em k. Vamos usar a técnica de expandir cada termo e depois aplicar as fórmulas de somatório de potências.

Passo 2

Note que cada termo pode ser escrito como
k(k+1)(k+2) = k^3 + 3k^2 + 2k
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S = sumk=1^48 l(k^3 + 3k^2 + 2kr) = sumk=1^48k^3 ;+; 3sumk=1^48k^2 ;+; 2sumk=1^48k

Passo 3

As fórmulas de somatório são, para n=48:
sumk=1^nk = n(n+1)2, sumk=1^nk^2 = n(n+1)(2n+1)6, sumk=1^nk^3 = l(n(n+1)2r)^2

Passo 4

Substituindo n=48:
sumk=1^48k = 48cdot492 = 1176,
sumk=1^48k^2 = 48cdot49cdot976 = 38024,
sumk=1^48k^3 = 1176^2 = 1382976

Passo 5

Agora montamos
S = 1382976 ;+; 3cdot38024 ;+; 2cdot1176 = 1382976 + 114072 + 2352 = 1499400

Resposta

S = 1499400

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