Exercício 1.5.19. Uma dado é lançado 40 vezes. De quantos modos é possivel obter face um 6 vezes, face dois 6 vezes, face três 5 vezes, face quatro 6 vezes, face cinco 9 vezes e face seis 8 vezes ?
Passo 1
O enunciado diz que lançamos um dado
vezes e queremos contar de quantos modos podemos obter exatamente
vezes a face 1,
vezes a face 2,
vezes a face 3,
vezes a face 4,
vezes a face 5 e
vezes a face 6. Isso é um problema de permutações de objetos repetidos, onde usamos o coeficiente multinomial.
Passo 2
Uma forma de ver o coeficiente multinomial é escolher as posições de cada face em etapas:
– de posições escolhemos
para a face 1,
– de restantes escolhemos
para a face 2,
– de restantes escolhemos
para a face 3,
– de restantes escolhemos
para a face 4,
– de restantes escolhemos
para a face 5,
– e as posições que sobrarem são para a face 6.
Isso gera o produto de binomiais
– de
– de
– de
– de
– de
– e as
Isso gera o produto de binomiais
Passo 3
Sabendo que
, o produto acima se simplifica em fatoriais: