Exercício 1.5.19. Uma dado é lançado 40 vezes. De quantos modos é possivel obter face um 6 vezes, face dois 6 vezes, face três 5 vezes, face quatro 6 vezes, face cinco 9 vezes e face seis 8 vezes ?

Passo 1

O enunciado diz que lançamos um dado 40 vezes e queremos contar de quantos modos podemos obter exatamente 6 vezes a face 1, 6 vezes a face 2, 5 vezes a face 3, 6 vezes a face 4, 9 vezes a face 5 e 8 vezes a face 6. Isso é um problema de permutações de objetos repetidos, onde usamos o coeficiente multinomial.

Passo 2

Uma forma de ver o coeficiente multinomial é escolher as posições de cada face em etapas:
– de 40 posições escolhemos 6 para a face 1,
– de 40-6=34 restantes escolhemos 6 para a face 2,
– de 34-6=28 restantes escolhemos 5 para a face 3,
– de 28-5=23 restantes escolhemos 6 para a face 4,
– de 23-6=17 restantes escolhemos 9 para a face 5,
– e as 8 posições que sobrarem são para a face 6.
Isso gera o produto de binomiais
binom406times binom346times binom285times binom236times binom179times binom88

Passo 3

Sabendo que binomnk=n!k!,(n-k)!, o produto acima se simplifica em fatoriais:
40!6!,34!;34!6!,28!;28!5!,23!;23!6!,17!;17!9!,8!;8!8!,0! =40!6!,6!,5!,6!,9!,8!

Resposta

40!6!,6!,5!,6!,9!,8!

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