Exemplo 2.1.5. Prove que
sumk=0^n(-1)^kbinomnk=0, se n>0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n>0,
sumk=0^n(-1)^kbinomnk=0
O conteúdo principal que vamos usar é o Teorema Binomial, que nos dá a expansão de (1+x)^n.

Passo 2

Pelo Teorema Binomial, para qualquer real x e inteiro n>=0 temos
(1+x)^n ;=;sumk=0^nbinomnkx^k

Passo 3

Basta escolher x=-1. Então
(1+(-1))^n ;=;sumk=0^nbinomnk(-1)^k
Como 1+(-1)=0 e n>0, temos (0)^n=0. Logo
sumk=0^n(-1)^kbinomnk=0

Resposta

A identidade está provada: para todo n>0,
sumk=0^n(-1)^kbinomnk=0

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