Exemplo 3
O conjunto W=(x, y) in R^2 ; y=x^2 não é um subespaço vetorial de R^2, pois não é fechado para a adição. De fato, os vetores u=(1,1) e v=(2,4) pertencem a W, mas u+v=(3,5) notin W.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W = (x,y)inR^2 mid y = x^2
é um subespaço vetorial de R^2.
Para isso basta achar uma propriedade de subespaço que falhe, por exemplo o fechamento sob adição.

Passo 2

Escolhemos dois vetores em W. Como y = x^2, tomemos
u = (1,1), v = (2,4)
De fato, 1 = 1^2 e 4 = 2^2, logo u,vin W.

Passo 3

Calculamos a soma
u + v = (1+2,;1+4) = (3,5)
Para que (3,5) estivesse em W, precisaríamos de 5 = 3^2 = 9, mas 5neq 9. Portanto (3,5)notin W.

Resposta

W não é um subespaço vetorial de R^2, pois não é fechado para a adição.

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