(Questão 3) [2 , 0 0] Dê a matriz de mudança de base E=(e1, e2, e3) para a base F= (f1, f2, f3) onde
& f1=e1-e3 & f2=3 e1 & f3=4 e1-3 e2
E sendo v=5 e1-e2+e3, ache v em função de f1, f2, f3.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, a matriz de mudança de base de E=(vec e1,vec e2,vec e3) para
F=(vec f1,vec f2,vec f3), onde
vec f1=vec e1-vec e3, vec f2=3vec e1, vec f3=4vec e1-3vec e2
Depois, dado vec v=5vec e1-vec e2+vec e3, queremos as coordenadas de vec v em F.

Passo 2

Vamos primeiro montar a matriz que leva coordenadas em F para coordenadas em E. Se [vec v]F=(a,b,c)^T, então
[vec v]E = a[vec f1]E+b[vec f2]E+c[vec f3]E = a10-1 + b300 + c4-30
Logo essa matriz P (colunas são [vec fi]E) é
P= 1 & 3 & 4 0 & 0 & -3 -1 & 0 & 0 ,
e vale [vec v]E=P,[vec v]F.

Passo 3

Para mudar de E para F precisamos de P^-1. Calculamos P^-1 resolvendo três sistemas P, x= ej ou usando eliminação. O resultado é
P^-1 = 0 & 0 & -1 13 & 49 & 13 0 & -13 & 0
Esse P^-1 satisfaz [vec v]F=P^-1,[vec v]E.

Passo 4

Agora [v]E = (5,-1,1)^T . Calculando
[v]F = P^-15-11 = 0 & 0 & -1 13 & 49 & 13 0 & -13 & 0 5-11 = -1[6pt] 149[3pt] 13
Isso significa
v = -,f1 ;+;149,f2;+;13,f3 ]

Resposta

Matriz de mudança de base de E para F:
PEto F = 0 & 0 & -1 13 & 49 & 13 0 & -13 & 0
Coordenadas de v em F:
[v]F = -1[3pt] 149[3pt] 13 ,
ou seja v = -f1 + tfrac149 f2 + tfrac13 f3.
]

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