Exemplo 4: Considere o conjunto dos números inteiros, Z, munido da operação usual da multiplicação, (Z, .) É grupo? Verifiquem se satisfaz as 3 propriedades
Seja
um conjunto não vazio onde está definida uma operação entre pares de
, denotada por,
Dizemos que o par
é um grupo se são válidas as seguintes propriedades:
tal que
tal que
.
Passo 1
O que o problema pede: verificar se o par
(conjunto dos inteiros com a multiplicação usual) é um grupo, avaliando se as três propriedades dadas são satisfeitas:
-
: associatividade: para todo . -
: existência de elemento neutro tal que para todo . -
: existência de inverso para cada elemento: para todo existe tal que .
Informações relevantes fornecidas: o conjunto é
(todos os inteiros) e a operação é a multiplicação usual, que vou denotar por
. A tarefa é testar
para este par.
Passo 2
Entendendo e testando
— associatividade.
O que significa associatividade? Dizer que a multiplicação é associativa significa que, para quaisquer inteiros
,
Explicando com calma: não importa se primeiro multiplicamos
por
e depois o resultado por
, ou se primeiro multiplicamos
por
e depois por
; o produto final é o mesmo.
Por que isso vale em
? A multiplicação dos inteiros é construída estendendo a multiplicação dos naturais, e é um fato básico (axioma/propriedade bem conhecida e provada nas teorias aritméticas) que a multiplicação é associativa. Em termos simples: multiplicação é feita somando repetições e as somas são associativas, daí vem a associatividade da multiplicação. Não precisamos provar formalmente aqui toda a construção axiomática; basta saber que, na aritmética comum, a multiplicação inteira é associativa.
Exemplo ilustrativo (para fixar a ideia): tome
,
,
. Então
e
mesmo resultado.
Conclusão do passo:
é satisfeita em
.
Passo 3
Entendendo e testando
— existência de elemento neutro (identidade).
O que é elemento neutro? Um elemento
é neutro para a operação se, para todo
,
Na multiplicação usual, qual inteiro tem essa propriedade? O inteiro
satisfaz
para todo inteiro
. Portanto
é candidato a elemento neutro.
Verificação direta: escolha um
arbitrário; pela definição da multiplicação, multiplicar por
não altera o número — isto é exatamente a propriedade que define
.
Observação rápida (útil em prova): a identidade multiplicativa é única. Se existissem
e
ambos neutros, então
. Mas aqui nem precisamos disso, basta dizer que
é o elemento neutro.
Conclusão do passo:
é satisfeita em
com
.
Passo 4
Entendendo e testando
— existência de inversos para todos os elementos.
O que é inverso? Para um dado
, um inverso multiplicativo
deve satisfazer
onde
é o neutro que encontramos no passo anterior.
A pergunta-chave: para todo inteiro
existe um inteiro
com
?
Vamos pensar: se
, então para qualquer
temos
. Logo
não tem inverso multiplicativo em
. Portanto já temos um contraexemplo simples que mostra que a propriedade
não pode ser satisfeita para todo elemento.
Além disso, olhando para inteiros não nulos: suponha que exista
tal que
. Então
divide
em
. Os divisores inteiros de
são apenas
e
. Portanto se
tiver inverso inteiro, necessariamente
. Ou, visto de outra maneira, se
então
para qualquer inteiro
, logo não pode ser igual a
.
Logo somente
e
têm inversos em
(o inverso de
é
; o inverso de
é
). Todos os outros inteiros, inclusive
, não têm inverso multiplicativo em
.
Conclusão do passo:
não é satisfeita para todo elemento de
.
Passo 5
Consequência lógica e interpretação final.
Para ser grupo, todas as três propriedades
precisam valer. Vimos que
(associatividade) vale e que
(identidade
) vale. Porém
falha porque muitos inteiros (por exemplo
e
) não têm inverso multiplicativo em
. Portanto
não é um grupo.
Observações úteis para a prova e para sua compreensão:
-
é um monóide (associativo com elemento neutro), mas não grupo. - O conjunto dos elementos de
que têm inverso multiplicativo (ou seja, as unidades de ) é ; esse subconjunto com a multiplicação forma um grupo abeliano de ordem . - Em geral, quando a operação é multiplicação num conjunto, verificar se
tem inverso é um teste rápido: se está no conjunto e o neutro é , então não terá inverso e o conjunto não será grupo (a menos que o conjunto exclua o , como em — mas mesmo aí muitos elementos não têm inverso inteiro).
Vai dar certo na sua prova — respira fundo, pratique alguns exemplos parecidos (como
que é grupo, ou
onde só alguns elementos têm inverso) e fica mais fácil de reconhecer rapidamente as falhas.
Resposta
Não.
não é grupo, pois falha
: nem todo
tem inverso multiplicativo (apenas
e
são invertíveis).