Exemplo 4: Considere o conjunto dos números inteiros, Z, munido da operação usual da multiplicação, (Z, .) É grupo? Verifiquem se satisfaz as 3 propriedades
Seja G um conjunto não vazio onde está definida uma operação entre pares de G, denotada por,
\begin{aligned} * & : G \times G \rightarrow G \\ & (x, y) w x * y \end{aligned}
Dizemos que o par G, * é um grupo se são válidas as seguintes propriedades:
\left.G_{1}\right) a *(b * c)=(a * b) * c \quad \forall a, b, c, \in G
\left.G_{2}\right) \exists e \in G tal que a * e=e * a, \quad \forall a \in G
\left.G_{3}\right) \forall a \in G, \exists b \in G tal que a * b=b * a=e.

Passo 1

O que o problema pede: verificar se o par \big(\mathbb{Z},\;\cdot\big) (conjunto dos inteiros com a multiplicação usual) é um grupo, avaliando se as três propriedades dadas são satisfeitas:
  • \mathrm{G}_1: associatividade: a*(b*c)=(a*b)*c para todo a,b,c\in G.
  • \mathrm{G}_2: existência de elemento neutro e\in G tal que a*e=e*a=a para todo a\in G.
  • \mathrm{G}_3: existência de inverso para cada elemento: para todo a\in G existe b\in G tal que a*b=b*a=e.
Informações relevantes fornecidas: o conjunto é \mathbb{Z} (todos os inteiros) e a operação é a multiplicação usual, que vou denotar por \cdot. A tarefa é testar \mathrm{G}_1,\mathrm{G}_2,\mathrm{G}_3 para este par.

Passo 2

Entendendo e testando \mathrm{G}_1 — associatividade.
O que significa associatividade? Dizer que a multiplicação é associativa significa que, para quaisquer inteiros a,b,c,
(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c).
Explicando com calma: não importa se primeiro multiplicamos a por b e depois o resultado por c, ou se primeiro multiplicamos b por c e depois por a; o produto final é o mesmo.
Por que isso vale em \mathbb{Z}? A multiplicação dos inteiros é construída estendendo a multiplicação dos naturais, e é um fato básico (axioma/propriedade bem conhecida e provada nas teorias aritméticas) que a multiplicação é associativa. Em termos simples: multiplicação é feita somando repetições e as somas são associativas, daí vem a associatividade da multiplicação. Não precisamos provar formalmente aqui toda a construção axiomática; basta saber que, na aritmética comum, a multiplicação inteira é associativa.
Exemplo ilustrativo (para fixar a ideia): tome a=2, b=3, c=4. Então
(2\cdot 3)\cdot 4 = 6\cdot 4 = 24
e
2\cdot (3\cdot 4) = 2\cdot 12 = 24,
mesmo resultado.
Conclusão do passo: \mathrm{G}_1 é satisfeita em \big(\mathbb{Z},\cdot\big).

Passo 3

Entendendo e testando \mathrm{G}_2 — existência de elemento neutro (identidade).
O que é elemento neutro? Um elemento e\in\mathbb{Z} é neutro para a operação se, para todo a\in\mathbb{Z},
a\cdot e = e\cdot a = a.
Na multiplicação usual, qual inteiro tem essa propriedade? O inteiro 1 satisfaz
a\cdot 1 = 1\cdot a = a
para todo inteiro a. Portanto 1 é candidato a elemento neutro.
Verificação direta: escolha um a arbitrário; pela definição da multiplicação, multiplicar por 1 não altera o número — isto é exatamente a propriedade que define 1.
Observação rápida (útil em prova): a identidade multiplicativa é única. Se existissem e e e' ambos neutros, então e = e\cdot e' = e'. Mas aqui nem precisamos disso, basta dizer que 1\in\mathbb{Z} é o elemento neutro.
Conclusão do passo: \mathrm{G}_2 é satisfeita em \big(\mathbb{Z},\cdot\big) com e=1.

Passo 4

Entendendo e testando \mathrm{G}_3 — existência de inversos para todos os elementos.
O que é inverso? Para um dado a\in\mathbb{Z}, um inverso multiplicativo b\in\mathbb{Z} deve satisfazer
a\cdot b = b\cdot a = 1,
onde 1 é o neutro que encontramos no passo anterior.
A pergunta-chave: para todo inteiro a existe um inteiro b com a\cdot b = 1?
Vamos pensar: se a=0, então para qualquer b\in\mathbb{Z} temos 0\cdot b = 0\neq 1. Logo 0 não tem inverso multiplicativo em \mathbb{Z}. Portanto já temos um contraexemplo simples que mostra que a propriedade \mathrm{G}_3 não pode ser satisfeita para todo elemento.
Além disso, olhando para inteiros não nulos: suponha que exista b\in\mathbb{Z} tal que a\cdot b = 1. Então a divide 1 em \mathbb{Z}. Os divisores inteiros de 1 são apenas 1 e -1. Portanto se a tiver inverso inteiro, necessariamente a\in\{1,-1\}. Ou, visto de outra maneira, se |a|\ge 2 então |a\cdot b|\ge 2 para qualquer inteiro b\neq 0, logo não pode ser igual a 1.
Logo somente 1 e -1 têm inversos em \mathbb{Z} (o inverso de 1 é 1; o inverso de -1 é -1). Todos os outros inteiros, inclusive 0, não têm inverso multiplicativo em \mathbb{Z}.
Conclusão do passo: \mathrm{G}_3 não é satisfeita para todo elemento de \mathbb{Z}.

Passo 5

Consequência lógica e interpretação final.
Para ser grupo, todas as três propriedades \mathrm{G}_1,\mathrm{G}_2,\mathrm{G}_3 precisam valer. Vimos que \mathrm{G}_1 (associatividade) vale e que \mathrm{G}_2 (identidade 1) vale. Porém \mathrm{G}_3 falha porque muitos inteiros (por exemplo 0 e 2) não têm inverso multiplicativo em \mathbb{Z}. Portanto \big(\mathbb{Z},\cdot\big) não é um grupo.
Observações úteis para a prova e para sua compreensão:
  • \big(\mathbb{Z},\cdot\big) é um monóide (associativo com elemento neutro), mas não grupo.
  • O conjunto dos elementos de \mathbb{Z} que têm inverso multiplicativo (ou seja, as unidades de \mathbb{Z}) é \{1,-1\}; esse subconjunto com a multiplicação forma um grupo abeliano de ordem 2.
  • Em geral, quando a operação é multiplicação num conjunto, verificar se 0 tem inverso é um teste rápido: se 0 está no conjunto e o neutro é 1, então 0 não terá inverso e o conjunto não será grupo (a menos que o conjunto exclua o 0, como em \mathbb{Z}\setminus\{0\} — mas mesmo aí muitos elementos não têm inverso inteiro).
Vai dar certo na sua prova — respira fundo, pratique alguns exemplos parecidos (como (\mathbb{Q}\setminus\{0\},\cdot) que é grupo, ou (\mathbb{Z}_n,\cdot) onde só alguns elementos têm inverso) e fica mais fácil de reconhecer rapidamente as falhas.

Resposta

Não. \big(\mathbb{Z},\cdot\big) não é grupo, pois falha \mathrm{G}_3: nem todo a\in\mathbb{Z} tem inverso multiplicativo (apenas 1 e -1 são invertíveis).

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