Exemplo 1
Considere uma corda vibrante de comprimento
que satisfaz a equação de onda
Suponha que as extremidades da corda estão fixas e que a corda é colocada em movimento sem velocidade inicial e da posição inicial
Encontre o deslocamento
da corda e descreva seu movimento durante um período.
Considere uma corda vibrante de comprimento
Passo 1
O enunciado dá a equação da onda unidimensional
com condições de contorno de extremidades fixas
e condições iniciais
onde
O conteúdo envolvido é a solução da equação de onda por d’Alembert mais a extensão ímpar periódica para atender às extremidades fixas.
Passo 2
Para aplicar d’Alembert, reconhecemos que a velocidade de propagação é
A solução geral para condição de velocidade inicial nula é
onde
é a extensão de
definida para todo
de modo a garantir
.
Passo 3
Para impor as extremidades fixas, estendemos
de forma ímpar em relação a
e
e repetimos periodicamente de período
. Em outras palavras, definimos
por reflexão ímpar e repetição de comprimento 60, de modo que sempre que o argumento de
atinja múltiplos de 30 a função muda de sinal e reflete a forma triangular original.
Passo 4
Com essa extensão, a solução final fica
que descreve dois pulsos triangulares partindo da forma inicial, cada um viajando com velocidade 2 em sentidos opostos, refletindo nas extremidades (com inversão de sinal) e repetindo esse ciclo.
Passo 5
O período da repetição completa (volta à configuração inicial) é
Durante cada período, os pulsos saem do centro, alcançam as extremidades, invertem sinal e retornam, restaurando a forma original após
.
Resposta
onde
é a extensão ímpar periódica de
com período
; o movimento consiste em dois pulsos triangulares viajando com velocidade
, refletindo com inversão de sinal nas extremidades e repetindo com período
.