Exemplo 1
Considere uma corda vibrante de comprimento L=30 que satisfaz a equação de onda
4 ux x=ut t, 0<x<30, t>0
Suponha que as extremidades da corda estão fixas e que a corda é colocada em movimento sem velocidade inicial e da posição inicial
u(x, 0)=f(x)=lr x / 10, & 0 <= x <= 10 (30-x) / 20, & 10<x <= 30
Encontre o deslocamento u(x, t) da corda e descreva seu movimento durante um período.

Passo 1

O enunciado dá a equação da onda unidimensional
4,uxx=utt, 0<x<30,;t>0
com condições de contorno de extremidades fixas
u(0,t)=u(30,t)=0
e condições iniciais
u(x,0)=f(x), ut(x,0)=0,
onde
f(x)= x/10,&0<= x<=10, (30-x)/20,&10<x<=30
O conteúdo envolvido é a solução da equação de onda por d’Alembert mais a extensão ímpar periódica para atender às extremidades fixas.

Passo 2

Para aplicar d’Alembert, reconhecemos que a velocidade de propagação é
c=raiz4=2
A solução geral para condição de velocidade inicial nula é
u(x,t)=tfrac12l(f^*(x-ct)+f^*(x+ct)r),
onde f^* é a extensão de f definida para todo xinR de modo a garantir u(0,t)=u(30,t)=0.

Passo 3

Para impor as extremidades fixas, estendemos f de forma ímpar em relação a x=0 e x=30 e repetimos periodicamente de período 2cdot30=60. Em outras palavras, definimos f^* por reflexão ímpar e repetição de comprimento 60, de modo que sempre que o argumento de f^* atinja múltiplos de 30 a função muda de sinal e reflete a forma triangular original.

Passo 4

Com essa extensão, a solução final fica
u(x,t)=12l(f^*(x-2t)+f^*(x+2t)r),
que descreve dois pulsos triangulares partindo da forma inicial, cada um viajando com velocidade 2 em sentidos opostos, refletindo nas extremidades (com inversão de sinal) e repetindo esse ciclo.

Passo 5

O período da repetição completa (volta à configuração inicial) é
T=2cdot Lc=2cdot302=30
Durante cada período, os pulsos saem do centro, alcançam as extremidades, invertem sinal e retornam, restaurando a forma original após t=T.

Resposta

u(x,t)=12l(f^*(x-2t)+f^*(x+2t)r),
onde f^* é a extensão ímpar periódica de f com período 60; o movimento consiste em dois pulsos triangulares viajando com velocidade 2, refletindo com inversão de sinal nas extremidades e repetindo com período 30.

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