Exemplo 3.4.1. Considere dez retiradas uma a uma ao acaso e com reposição de bolas de uma urna contendo inicialmente 8 bolas verdes e 2 bolas vermelhas.
Calcule a probabilidade de se obter bolas verdes em pelo menos quatro das dez retiradas

Passo 1

O enunciado descreve um experimento de dez retiradas com reposição de uma urna com 8 bolas verdes e 2 bolas vermelhas. Cada retirada tem probabilidade p de sair verde igual a
p = 810 = 0,8,
logo é um caso típico de distribuição binomial com n=10 e p=0,8. Queremos
P(X>=4),
onde X é o número de verdes em 10 retiradas.

Passo 2

Pela propriedade de complemento,
P(X>=4) = 1 - P(X<=3) = 1 - sumk=0^3 binom10k,(0,8)^k,(0,2)^10-k

Passo 3

Calculamos os termos de P(X<=3):
T0 &= binom100(0,8)^0(0,2)^10 = (0,2)^10 = 1,024times10^-7, T1 &= binom101(0,8)^1(0,2)^9 = 10cdot0,8cdot(0,2)^9 = 4,096times10^-6, T2 &= binom102(0,8)^2(0,2)^8 = 45cdot0,64cdot(0,2)^8 = 7,3728times10^-5, T3 &= binom103(0,8)^3(0,2)^7 = 120cdot0,512cdot(0,2)^7 = 7,86432times10^-4
Somando,
P(X<=3)=T0+T1+T2+T3approx0,00086436

Passo 4

Aplicando o complemento:
P(X>=4)=1 - 0,00086436 approx 0,99913564

Resposta

P(pelo menos 4 verdes) = sumk=4^10 binom10k(0,8)^k(0,2)^10-k approx0,99914

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