Uma loja de roupas vende três tipos de camisetas aos preços de 12, 15 e 20 reais. Baseado nos registros de vendas, pôde-se estabelecer as proporções de vendas de cada tipo:
12 15 20
0,5 0,2 0,3
a) Obtenha as amostras de tamanho dois da variável (valor recebido pelo lojista).
b) Obtenha a distribuição da média e da soma (total).
c) Calcule a média e a variância de cada distribuição.
d) Ao longo de uma semana, 20 consumidores adquiriram, independentemente, camisetas de um desses tipos. Obtenha a média e a variância da soma.
a) k = 9 amostras
b)
12 13,5 15 16 17,5 20
0,25 0,20 0,04 0,30 0,12 0,09 1
24 27 30 32 35 40
0,25 0,20 0,04 0,30 0,12 0,09 1
c)
d) Soma

Passo 1

O enunciado dá uma v.a. discreta X com possíveis valores 12, 15 e 20 (reais) e probabilidades
P(X=12)=0,5,;P(X=15)=0,2,;P(X=20)=0,3,
e pede:
a) o espaço amostral de duas observações independentes de X;
b) a distribuição de probabilidade da soma X+=X1+X2 e da média bar X=(X1+X2)/2;
c) as esperanças e variâncias de X, de X+ e de bar X;
d) para n=20 observações independentes de X, a esperança e a variância da soma S=X1+cdots+X20.

Passo 2

Como as duas observações são independentes e com reposição, o espaço amostral tem 3times3=9 pares
(12,12),,(12,15),,(12,20),,(15,12),,(15,15),,(15,20),,(20,12),,(20,15),,(20,20)

Passo 3

Calculemos a soma . Os valores possíveis e suas probabilidades são:

Passo 4

A média amostral assume os valores . Logo:

Passo 5

Primeiro calculamos E(X) e Var(X).
E(X)=12cdot0,5+15cdot0,2+20cdot0,3=6+3+6=15,
E(X^2)=12^2cdot0,5+15^2cdot0,2+20^2cdot0,3 =144cdot0,5+225cdot0,2+400cdot0,3 =72+45+120=237,
Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=237-15^2=237-225=12

Passo 6

Usando independência de X1 e X2:
E(X+)=E(X1)+E(X2)=2cdot15=30, Var(X+)=Var(X1)+Var(X2)=2cdot12=24
Para a média:
E(bar X)=El(tfracX+2r)=tfrac12E(X+)=15, Var(bar X)=tfrac14Var(X+)=tfrac244=6

Passo 7

Para n=20 observações independentes de X, a soma S=X1+cdots+X20 satisfaz
E(S)=20,E(X)=20cdot15=300, Var(S)=20,Var(X)=20cdot12=240

Resposta

a) Espaço amostral:
.
b)
c)
d) Para :

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