Exemplo 3.4.1. Considere dez retiradas uma a uma ao acaso e com reposição de bolas de uma urna contendo inicialmente 8 bolas verdes e 2 bolas vermelhas.
Calcule a probabilidade de se obter bolas verdes em pelo menos uma das dez retiradas.

Passo 1

O enunciado descreve um experimento de dez retiradas com reposição de uma urna contendo inicialmente 8 bolas verdes e 2 bolas vermelhas. Cada retirada é independente e a probabilidade de sucesso (retirar bola verde) é constante. O conteúdo principal é distribuição binomial e, como queremos “pelo menos um sucesso”, vamos usar a regra do complemento.

Passo 2

Definimos a probabilidade de retirar uma bola verde em uma única tentativa como
p = 810 = 0,8,
e a probabilidade de não retirar bola verde (retirar vermelha) como
q = 1 - p = 210 = 0,2

Passo 3

Para calcular a probabilidade de obter pelo menos uma bola verde em 10 retiradas, usamos a regra do complemento:
P(pelo menos 1 verde) = 1 - P(nenhum verde)

Passo 4

A probabilidade de não sair nenhuma bola verde em todas as 10 retiradas (ou seja, todas vermelhas) é
P(nenhum verde) = q^10 = (0,2)^10

Passo 5

Portanto a probabilidade pedida é
P(>=1 verde) = 1 - (0,2)^10
Em valor aproximado, como (0,2)^10approx1,024times10^-7, temos
P(>=1 verde) approx 1 - 1,024times10^-7 approx 0,9999999

Resposta

1 - l(0,2r)^10 approx 0,9999999

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