Exemplo 3.4.1. Considere dez retiradas uma a uma ao acaso e com reposição de bolas de uma urna contendo inicialmente 8 bolas verdes e 2 bolas vermelhas.
Calcule a probabilidade de se obter exatamente uma vez bola verde nas dez retiradas.

Passo 1

O enunciado descreve que fazemos n=10 retiradas com reposição de uma urna que contém inicialmente 8 bolas verdes e 2 bolas vermelhas. Queremos a probabilidade de obter exatamente uma bola verde em 10 retiradas. Como cada retirada é independente e tem apenas dois resultados (verde ou não–verde), isso define um experimento binomial.

Passo 2

Em cada retirada a probabilidade de sucesso (retirar bola verde) é
p = 810
e a de fracasso (bola vermelha) é
1-p = 210
Denotando por X o número de bolas verdes em 10 retiradas, temos XsimBinomial(n=10,p=8/10).

Passo 3

A fórmula da distribuição binomial para obter exatamente k sucessos em n ensaios é
P(X=k)=binomnk,p^k,(1-p)^,n-k
Aqui queremos k=1, n=10, p=8/10 e 1-p=2/10.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula temos
P(X=1) =binom101l(tfrac810r)^1l(tfrac210r)^9
Como binom101=10, fica
P(X=1) =10cdot810cdotl(210r)^9

Passo 5

Calculando numericamente l(tfrac210r)^9=0,2^9=5,12times10^-7 e, portanto,
P(X=1) =10cdot0,8cdot5,12times10^-7 =4,096times10^-6

Resposta

4,096times10^-6

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