Exemplo 3.4.1. Considere dez retiradas uma a uma ao acaso e com reposição de bolas de uma urna contendo inicialmente 8 bolas verdes e 2 bolas vermelhas.
Calcule a probabilidade de não se obter bolas verdes em exatamente uma das dez retiradas.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, em dez retiradas com reposição de uma urna que contém inicialmente oito bolas verdes e duas bolas vermelhas, ocorrer exatamente uma retirada em que não se obtenha bola verde. O conteúdo aqui é o modelo de distribuição binomial em experimentos independentes com dois resultados (sucesso/falha).

Passo 2

Em cada retirada a probabilidade de obter bola verde é
810
e de não obter bola verde (isto é, retirar bola vermelha) é
210
Como há reposição, as retiradas são independentes.

Passo 3

Seja X o número de retiradas (em 10) que não resultam em bola verde. Então
Xsim Binl(n=10,;p=tfrac210r)
e a fórmula geral é
P(X=k)=binomnk,p^k,(1-p)^n-k

Passo 4

Para calcular a probabilidade de X=1 usamos k=1:
P(X=1) =binom101l(210r)^1l(810r)^9 =10cdot210cdotl(810r)^9

Passo 5

Simplificando a expressão:
P(X=1) =2cdotl(810r)^9
Em forma decimal fica aproximadamente
P(X=1)approx2cdot0,8^9approx0,2684

Resposta

A probabilidade de não obter bola verde em exatamente uma das dez retiradas é
P(X=1) =10cdot210cdotl(810r)^9 =2cdotl(810r)^9approx0,2684

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