Exemplo 3.4.1. Considere dez retiradas uma a uma ao acaso e com reposição de bolas de uma urna contendo inicialmente 8 bolas verdes e 2 bolas vermelhas.
Calcule a probabilidade de se obter bolas verdes em exatamente duas das dez retiradas.

Passo 1

O enunciado diz que fazemos 10 retiradas com reposição de uma urna com 8 bolas verdes e 2 bolas vermelhas, todas igualmente prováveis a cada retirada. Queremos a probabilidade de sair bola verde exatamente em 2 das 10 retiradas. O conteúdo aqui é a distribuição binomial.

Passo 2

Cada retirada é um ensaio de Bernoulli com “sucesso” = retirar bola verde e probabilidade
p = 810 = 0,8
Como as retiradas são independentes e em número fixo n=10, a variável aleatória X = “número de verdes em 10 retiradas” segue
X sim Binomial(n=10,,p=0,8)

Passo 3

Para distribuição binomial, a probabilidade de exatamente k sucessos é
P(X=k) ;=; binomnk,p^k,(1-p)^,n-k
Aqui queremos k=2, n=10 e 1-p=0,2, logo
P(X=2) = binom102,(0,8)^2,(0,2)^8

Passo 4

Calculamos passo a passo:
binom102 = 45, (0,8)^2 = 0,64, (0,2)^8 = (2times10^-1)^8 = 2^8times10^-8 = 256times10^-8 = 2,56times10^-6
Multiplicando:
P(X=2) = 45 times 0,64 times 2,56times10^-6 = 28,8 times 2,56times10^-6 = 73,728times10^-6 = 7,3728times10^-5

Resposta

P(exatamente 2 verdes) = binom102,(0,8)^2,(0,2)^8 approx 7,37times10^-5

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