Exemplo 3.5.1. Considere dez retiradas uma a uma ao acaso e sem reposição de bolas de uma urna contendo inicialmente 8 bolas verdes e 2 bolas vermelhas.
Calcule a probabilidade de se obter bolas verdes em exatamente duas das dez retiradas.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma urna com 8 bolas verdes (sucessos) e 2 bolas vermelhas (falhas), totalizando N=10 bolas. Vamos retirar todas as n=10 bolas sem reposição e queremos a probabilidade de obter exatamente k=2 bolas verdes. Esse é um caso clássico de distribuição hipergeométrica.

Passo 2

Na distribuição hipergeométrica, se X é o número de sucessos (verdes) em n retiradas de uma população de tamanho N com K sucessos, então
P(X=k) = binomKk,binomN-K,n-k,binomNn

Passo 3

Aqui temos N=10, K=8, n=10 e queremos k=2. Substituindo,
P(X=2) = binom82,binom10-8,10-2,binom1010 = binom82,binom28binom1010
Mas binom28=0 (não faz sentido escolher 8 vermelhas quando só há 2), e binom1010=1. Logo,
P(X=2)=binom82cdot01=0

Resposta

A probabilidade de obter exatamente duas bolas verdes é 0.

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