Exemplo 2

Considere uma tubulação de 150 mm de diâmetro e 30 metros de comprimento na qual escoa glicerina com uma velocidade média igual a 4,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A glicerina está a uma temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C} e com o qual a massa especifica é igual a 1258 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e a viscosidade dinâmica igual a 9,6 \times 10^{-1} \mathrm{~Pa}.s. A) Determine a perda de carga, B) o gradiente de pressão da tubulação.

Passo 1

O enunciado dá uma tubulação de diâmetro D=150\\ \mathrm{mm}=0,15\\ \mathrm{m} e comprimento L=30\\ \mathrm{m}, com escoamento de glicerina à velocidade média v=4,0\\ \mathrm{m/s}. A glicerina a 25^\circ\mathrm{C} tem densidade \rho=1258\\ \mathrm{kg/m^3} e viscosidade dinâmica \mu=9{,}6\times10^{-1}\\ \mathrm{Pa\,s}.
Pede-se:
A) a perda de carga (head loss) na tubulação;
B) o gradiente de pressão \Delta p/L.
Para resolver, vamos
  1. calcular o número de Reynolds e verificar o regime;
  2. obter o fator de atrito de Darcy;
  3. usar a fórmula de Darcy–Weisbach para a perda de carga;
  4. converter em pressão e achar o gradiente.

Passo 2

Calcular o número de Reynolds
Re \;=\;\frac{\rho\,v\,D}{\mu}.
Substituindo,
Re = \frac{1258\cdot4{,}0\cdot0{,}15}{9{,}6\times10^{-1}} \approx 786.
Como Re<2000, o escoamento é laminar.

Passo 3

No regime laminar, o fator de atrito de Darcy é
f = \frac{64}{Re} = \frac{64}{786} \approx 0{,}0814.

Passo 4

Calcular a perda de carga h_f pela fórmula de Darcy–Weisbach
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g}.
Temos \tfrac{L}{D}=30/0{,}15=200 e \tfrac{v^2}{2g}=\tfrac{4^2}{2\cdot9{,}81}\approx0{,}8165. Logo
h_f = 0{,}0814\times200\times0{,}8165 \approx13{,}3\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Converter a perda de carga em pressão:
\Delta p = \rho\,g\,h_f =1258\cdot9{,}81\cdot13{,}3 \approx1,64\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Obter o gradiente de pressão
\frac{\Delta p}{L} =\frac{1,64\times10^{5}}{30} \approx5,47\times10^{3}\\ \mathrm{Pa/m}.

Resposta

A) Perda de carga h_f\approx13{,}3\\ \mathrm{m} (isto é, \Delta p\approx1,64\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}).
B) Gradiente de pressão \Delta p/L\approx5,47\times10^{3}\\ \mathrm{Pa/m}.

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