A variação da viscosidade da água com a temperatura é dada pela equação empírica
\mu=A e^{B / T}
onde T é a temperatura absoluta. Os dados seguintes foram obtidos por meio de um viscosímetro de laboratório: a 20^{\circ} \mathrm{C}, \mu=0,0010 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s} e a 40^{\circ} \mathrm{C}, \mu=0,0007 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} . \mathrm{s}. Calcule as constantes A e B da equação. Calcule o erro absoluto ao estimar a viscosidade a 10^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá a relação empírica da viscosidade da água em função da temperatura absoluta:
\mu = A\,e^{B/T},
e fornece dois pontos experimentais: a 20^\circ\mathrm{C} (isto é, T_{1}=293\\ \mathrm{K}), \mu_{1}=0,0010\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}), e a 40^\circ\mathrm{C} ( T_{2}=313\\ \mathrm{K}), \mu_{2}=0,0007\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}).
Precisamos (i) determinar as constantes A e B resolvendo o sistema que se obtém ao tomar logaritmo natural, e depois (ii) estimar \mu a 10^\circ\mathrm{C} ( T_{3}=283\\ \mathrm{K}) e comparar com o valor tabulado \mu_{\text{tab}}(10^\circ\mathrm{C})=0,001307\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}) para calcular o erro absoluto.

Passo 2

Tomando logaritmo em ambos os lados em cada ponto, obtemos
\ln\mu_{1} = \ln A + \frac{B}{T_{1}}, \qquad \ln\mu_{2} = \ln A + \frac{B}{T_{2}}.
Subtraindo as duas equações:
\ln\!\biggl(\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}}\biggr) = B\Bigl(\frac{1}{T_{1}}-\frac{1}{T_{2}}\Bigr).
Logo,
B = \frac{\ln(0,0010/0,0007)}{\tfrac{1}{293}-\tfrac{1}{313}} \approx \frac{\ln(1,42857)}{0,003413-0,003195} \approx 1{,}64\times10^{3}\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Substituindo B em \ln\mu_{1} = \ln A + B/T_{1}, temos
\ln A = \ln(0,0010) - \frac{B}{293} \quad\Longrightarrow\quad A = 0,0010\;\exp\!\Bigl(-\frac{1{,}64\times10^{3}}{293}\Bigr) \approx 3{,}76\times10^{-6}\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}).

Passo 4

Com A e B em mãos, estimamos a viscosidade a 10^\circ\mathrm{C} ( T_{3}=283\\ \mathrm{K}):
\mu_{\text{pred}}(283) = A\,e^{B/283} \approx 3{,}76\times10^{-6}\,\exp\!\Bigl(\frac{1{,}64\times10^{3}}{283}\Bigr) \approx 1{,}225\times10^{-3}\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}).

Passo 5

O erro absoluto, tomando como referência o valor tabulado \mu_{\text{tab}}=0,001307\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}), é
\bigl|\mu_{\text{tab}} - \mu_{\text{pred}}\bigr| = \bigl|0,001307 - 0,001225\bigr| \approx 8,2\times10^{-5}\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}).

Resposta

A \approx 3{,}76\times10^{-6}\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s})
B \approx 1{,}64\times10^{3}\\ \mathrm{K}
Erro absoluto a 10^\circ\mathrm{C}: 8{,}2\times10^{-5}\\ \mathrm{kg}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{s})

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