Exemplo 2.3. Consideremos agora a EDO
, em que
. Se
, obtemos
e, assim,
, ou seja,
. Disso resulta que
, em que
. Logo,
, o que nos fornece
. Desse modo,
, em que
é uma constante real, é a solução geral da EDO
.
Na análise feita acima, excluímos o caso
. É claro que
, para todo
, é a única solução constante da EDO acima. Tal solução constante pode ser obtida da solução geral
: basta considerar
nessa última equação.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
onde
é função de
. A pergunta implícita é: encontrar a solução geral
desta EDO, ou seja, todas as funções
que satisfazem essa relação para todo
. Informações relevantes fornecidas: a relação entre a derivada
e
é linear e envolve uma constante multiplicativa
. Não temos condição inicial fornecida.
Passo 2
Vamos manipular a equação para isolar termos com
de um lado e termos com
do outro — isto é, separar as variáveis. Começamos escrevendo a derivada como razão diferencial:
Se
, podemos dividir por
para obter
Explicação didática: dividir por
só é válida quando
não é zero. O objetivo aqui é obter algo da forma
para integrar ambos os lados. Agora multiplicamos ambos os lados por
(tratando
e
como diferenciais), chegando em
Comentário prático: pensar em
e
como pequenas variações ajuda a ver por que essa manipulação funciona; formalmente isto é a separação de variáveis.
Passo 3
Integramos os dois lados para encontrar uma relação entre
e
:
Agora calcule as integrais. A integral de
em relação a
é o logaritmo natural do valor absoluto de
; a integral de
em relação a
é
, mais uma constante de integração. Assim:
Explicação do valor absoluto: a primitiva de
é
porque o logaritmo natural está definido apenas para argumentos positivos; o valor absoluto cobre os casos
e
.
Passo 4
Agora removemos o logaritmo exponenciando ambos os lados. Aplicando a função exponencial:
Definimos
. Observação importante:
porque é uma exponencial. Portanto
Passo 5
Retirando o módulo, obtemos duas possibilidades:
Podemos juntar essas duas possibilidades definindo uma constante
que pode ser qualquer número real diferente de zero: seja
. Assim, para
,
Explicação prática: ao agrupar o sinal com
transformamos a família de soluções em uma forma única com uma constante arbitrária
.
Passo 6
Falta considerar o caso
. Se
para todo
, então
e a equação
fica
, que é verdadeira. Portanto
é solução. Podemos incluir esta solução na forma
tomando
. Conclusão: para todos os
temos uma solução
Passo 7
Verificação rápida: derive
. Usando a regra da derivada de exponencial,
logo a função satisfaz a equação diferencial para qualquer constante real
.
Passo 8
Observações finais úteis para prova:
- A constante
é determinada por uma condição inicial do tipo via . - A solução é definida para todo
e é única dado um valor inicial (teorema de existência e unicidade para esta EDO linear simples). - Exemplo rápido: se tivéssemos
a solução seria ; se , então e .