Exemplo 2.3. Consideremos agora a EDO y^{\prime}=9 y, em que y=y(x). Se y \neq 0, obtemos \frac{1}{y} y^{\prime}(x)=9 e, assim, \int \frac{1}{y} y^{\prime}(x) d x=\int 9 d x, ou seja, \int \frac{1}{y} d y=\int 9 d x. Disso resulta que \ln |y|=9 x+c_{1} \mathrm{e}, \operatorname{assim},|y|=e^{\ln |y|}=e^{9 x+c_{1}}= e^{9 x} e^{c_{1}}=c e^{9 x}, em que c=e^{c_{1}}. Logo, |y|=c e^{9 x}, o que nos fornece y= \pm c e^{9 x}. Desse modo, y=k e^{9 x}, em que k é uma constante real, é a solução geral da EDO y^{\prime}=9 y.
Na análise feita acima, excluímos o caso y=0. É claro que y(x)=0, para todo x, é a única solução constante da EDO acima. Tal solução constante pode ser obtida da solução geral y=k e^{9 x} : basta considerar k=0 nessa última equação.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y' = 9y,
onde y é função de x. A pergunta implícita é: encontrar a solução geral y(x) desta EDO, ou seja, todas as funções y(x) que satisfazem essa relação para todo x. Informações relevantes fornecidas: a relação entre a derivada y' e y é linear e envolve uma constante multiplicativa 9. Não temos condição inicial fornecida.

Passo 2

Vamos manipular a equação para isolar termos com y de um lado e termos com x do outro — isto é, separar as variáveis. Começamos escrevendo a derivada como razão diferencial:
\frac{dy}{dx} = 9y.
Se y\neq 0, podemos dividir por y para obter
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = 9.
Explicação didática: dividir por y só é válida quando y não é zero. O objetivo aqui é obter algo da forma g(y)\,dy = h(x)\,dx para integrar ambos os lados. Agora multiplicamos ambos os lados por dx (tratando dy e dx como diferenciais), chegando em
\frac{1}{y}\,dy = 9\,dx.
Comentário prático: pensar em dy e dx como pequenas variações ajuda a ver por que essa manipulação funciona; formalmente isto é a separação de variáveis.

Passo 3

Integramos os dois lados para encontrar uma relação entre y e x:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int 9\,dx.
Agora calcule as integrais. A integral de \frac{1}{y} em relação a y é o logaritmo natural do valor absoluto de y; a integral de 9 em relação a x é 9x, mais uma constante de integração. Assim:
\ln|y| = 9x + C_1.
Explicação do valor absoluto: a primitiva de 1/y é \ln|y| porque o logaritmo natural está definido apenas para argumentos positivos; o valor absoluto cobre os casos y>0 e y<0.

Passo 4

Agora removemos o logaritmo exponenciando ambos os lados. Aplicando a função exponencial:
|y| = e^{\ln|y|} = e^{9x + C_1} = e^{C_1} e^{9x}.
Definimos C := e^{C_1}. Observação importante: C>0 porque é uma exponencial. Portanto
|y| = C e^{9x}.

Passo 5

Retirando o módulo, obtemos duas possibilidades:
y = C e^{9x}\quad\text{ou}\quad y = -C e^{9x}.
Podemos juntar essas duas possibilidades definindo uma constante k que pode ser qualquer número real diferente de zero: seja k = \pm C. Assim, para k\neq 0,
y = k e^{9x},\qquad k\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Explicação prática: ao agrupar o sinal com C transformamos a família de soluções em uma forma única com uma constante arbitrária k.

Passo 6

Falta considerar o caso y\equiv 0. Se y(x)=0 para todo x, então y'=0 e a equação y'=9y fica 0=9\cdot 0, que é verdadeira. Portanto y\equiv 0 é solução. Podemos incluir esta solução na forma y = k e^{9x} tomando k=0. Conclusão: para todos os k\in\mathbb{R} temos uma solução
y(x) = k e^{9x}.

Passo 7

Verificação rápida: derive y(x)=k e^{9x}. Usando a regra da derivada de exponencial,
y'(x)=k\cdot 9 e^{9x}=9(k e^{9x})=9y(x),
logo a função satisfaz a equação diferencial para qualquer constante real k.

Passo 8

Observações finais úteis para prova:
  • A constante k é determinada por uma condição inicial do tipo y(x_0)=y_0 via k = y_0 e^{-9x_0}.
  • A solução é definida para todo x\in\mathbb{R} e é única dado um valor inicial y(x_0)=y_0 (teorema de existência e unicidade para esta EDO linear simples).
  • Exemplo rápido: se tivéssemos y' = 3y a solução seria y = k e^{3x}; se y(0)=2, então k=2 e y=2e^{3x}.

Resposta

y = k e^{9x},\; k\in\mathbb{R}

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