Exercício 2.5. Resolva as EDO’s e os PVI’s:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede para resolvê‑la (e resolver PVI’s, se houver condições iniciais). Informações relevantes que temos:
- A incógnita é a função
. - A equação relaciona a derivada de
com e . - O denominador
anula em , então a equação não está definida nesse ponto. - Não foi dada nenhuma condição inicial explícita no enunciado; portanto vamos obter a solução geral (e vou explicar como obter uma solução particular caso você tenha um PVI).
Passo 2
Observação importante (sem resolver ainda): existe a possibilidade de solução constante. Vamos testar a função constante
. Substituindo na equação:
Assim,
satisfaz a equação sempre que a equação estiver bem definida (isto é, para
). Portanto
é uma solução (solução estacionária ou solução constante). Agora vamos procurar as soluções não‑constantes.
Passo 3
Método de separação de variáveis (vou explicar passo a passo): se a equação pode ser colocada colocando todos os termos em
de um lado e todos os termos em
do outro, podemos integrar cada lado separadamente. Partindo da equação:
se
podemos dividir por
e multiplicar por
, obtendo
Essa é a separação de variáveis: o lado esquerdo depende só de
, o direito só de
.
Passo 4
Agora integramos os dois lados. Lembrete rápido de integração:
. Aplicando isso temos
o que dá
onde
é a constante de integração (um número real que aparece porque integrámos).
Passo 5
Isolamos
. Primeiro exponenciamos ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Como
é um número positivo, podemos chamar
e escrever
Agora podemos eliminar o valor absoluto absorvendo o sinal em uma constante real arbitrária
(ou seja, permitir
real, não necessariamente positivo). Escrevendo
arbitrário obtemos
Assim a família geral de soluções (incluindo a constante quando
) é
onde
é uma constante real arbitrária. Nota sobre domínio: durante a integração usamos
, então as soluções estão naturalmente definidas separadamente em intervalos que não cruzem
(por exemplo
ou
). A fórmula algébrica
vale matematicamente para qualquer
, mas a equação original não é válida em
.
Passo 6
Como encontrar uma solução particular se você tiver um PVI do tipo
(explico porque você pode ter isso na prova): partindo de
isolamos
:
desde que
(ou seja,
). Então a solução particular é
Exemplo rápido para fixar: se o PVI for
então
e a solução é
.