Resolva o problema de valor inicial.
,
Passo 1
O problema pede a solução do problema de valor inicial dado por
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação diferencial é de primeira ordem.
- A condição inicial está em
. - Observação importante:
. Portanto é permitido dividir a equação por numa vizinhança desse ponto (não vamos mexer em pontos onde ).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por
(válido perto de
) obtemos
Explicando a ideia: uma equação linear de primeira ordem tem a forma
onde
e
neste caso.
Passo 3
Método do fator integrante (explicação didática): para resolver
calcula-se o fator integrante
Aqui
. Então
Logo
Como trabalhamos numa vizinhança de
onde
, podemos tomar simplesmente
Propriedade chave: multiplicando a equação padrão por
transforma o lado esquerdo no derivado do produto
, pois
Passo 4
Multiplicando a equação
por
obtemos
Pelo comentário anterior, o lado esquerdo é
. Portanto
Integral das duas mãos:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Isolando
,
Isto é a família geral de soluções (válida onde usamos
, isto é, onde
).
Passo 6
Agora aplicamos a condição inicial
. Usando a forma
em
:
Substituindo
:
Dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
obtemos
Logo
Passo 7
Substituindo
na solução geral, a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Comentário final: esta solução é válida em qualquer intervalo em que
e que contenha
(assim a divisão inicial por
foi legítima).