Resolva o problema de valor inicial.
\cos x \frac{d y}{d x}+y \operatorname{sen} x=2 x \cos ^{2} x, y\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{-15 \sqrt{2} \pi^{2}}{32}

Passo 1

O problema pede a solução do problema de valor inicial dado por
\cos x\,\frac{dy}{dx}+y\operatorname{sen} x=2x\cos^{2}x, \qquad y\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{-15\sqrt{2}\,\pi^{2}}{32}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação diferencial é de primeira ordem.
  • A condição inicial está em x=\frac{\pi}{4}.
  • Observação importante: \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\neq0. Portanto é permitido dividir a equação por \cos x numa vizinhança desse ponto (não vamos mexer em pontos onde \cos x=0).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por \cos x (válido perto de x=\frac{\pi}{4}) obtemos
\frac{dy}{dx}+y\tan x=2x\cos x.
Explicando a ideia: uma equação linear de primeira ordem tem a forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x)=\tan x e Q(x)=2x\cos x neste caso.

Passo 3

Método do fator integrante (explicação didática): para resolver \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) calcula-se o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Aqui P(x)=\tan x. Então
\int \tan x\,dx=-\ln|\cos x|.
Logo
\mu(x)=\exp\!\big(-\ln|\cos x|\big)=\frac{1}{|\cos x|}.
Como trabalhamos numa vizinhança de x=\frac{\pi}{4} onde \cos x>0, podemos tomar simplesmente
\mu(x)=\operatorname{sec} x.
Propriedade chave: multiplicando a equação padrão por \mu(x) transforma o lado esquerdo no derivado do produto \mu(x)y, pois
\frac{d}{dx}\big(y\operatorname{sec} x\big)=\operatorname{sec} x\frac{dy}{dx}+y\operatorname{sec} x\tan x.

Passo 4

Multiplicando a equação \dfrac{dy}{dx}+y\tan x=2x\cos x por \operatorname{sec} x obtemos
\operatorname{sec} x\frac{dy}{dx}+y\operatorname{sec} x\tan x = 2x.
Pelo comentário anterior, o lado esquerdo é \dfrac{d}{dx}\big(y\operatorname{sec} x\big). Portanto
\frac{d}{dx}\big(y\operatorname{sec} x\big)=2x.
Integral das duas mãos:
y\operatorname{sec} x=\int 2x\,dx = x^{2}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y,
y=(x^{2}+C)\cos x.
Isto é a família geral de soluções (válida onde usamos \operatorname{sec} x, isto é, onde \cos x\neq0).

Passo 6

Agora aplicamos a condição inicial y\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\dfrac{-15\sqrt{2}\,\pi^{2}}{32}. Usando a forma y=(x^{2}+C)\cos x em x=\dfrac{\pi}{4}:
\left(\frac{\pi^{2}}{16}+C\right)\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{-15\sqrt{2}\,\pi^{2}}{32}.
Substituindo \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}:
\left(\frac{\pi^{2}}{16}+C\right)\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{-15\sqrt{2}\,\pi^{2}}{32}.
Dividindo ambos os lados por \sqrt{2} e multiplicando por 2 obtemos
\frac{\pi^{2}}{16}+C=-\frac{15\pi^{2}}{16}.
Logo
C=-\frac{15\pi^{2}}{16}-\frac{\pi^{2}}{16}=-\pi^{2}.

Passo 7

Substituindo C=-\pi^{2} na solução geral, a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y=(x^{2}-\pi^{2})\cos x.
Comentário final: esta solução é válida em qualquer intervalo em que \cos x\neq0 e que contenha x=\dfrac{\pi}{4} (assim a divisão inicial por \cos x foi legítima).

Resposta

y=(x^{2}-\pi^{2})\cos x

Exercícios relacionados