Exemplo 4: Um copo de vidro contém 0,25 \mathrm{~kg} de refrigerante (constituído, em sua maior parte, por água), inicialmente a uma temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C}. Quanto gelo, inicialmente a -20^{\circ} \mathrm{C}, deve ser adicionado para que a temperatura final seja igual a 0^{\circ} \mathrm{C}, com todo o gelo derretido? Despreze o calor específico do copo. 70 g

Passo 1

O enunciado pede: determinar a massa de gelo necessária para que, ao ser adicionada a um copo contendo 0,25\\ \mathrm{kg} de refrigerante à 25^\circ\mathrm{C}, a temperatura final do sistema seja 0^\circ\mathrm{C} e todo o gelo esteja derretido. Informações fornecidas (resumidas):
  • Massa do refrigerante: m_{r}=0,25\\ \mathrm{kg}.
  • Temperatura inicial do refrigerante: T_{r,i}=25^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final desejada: T_{f}=0^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura inicial do gelo: T_{g,i}=-20^\circ\mathrm{C}.
  • Todo o gelo deve derreter (portanto, após atingir 0^\circ\mathrm{C} o gelo entrou em fusão).
  • Despreza-se o calor específico do copo (ou seja, só consideramos refrigerante + gelo).
    Pergunta a responder: qual a massa do gelo m_g a ser adicionada?

Passo 2

Princípio físico e fórmulas que vamos usar (explicadas de maneira simples):
  • Conservação de energia térmica (num problema sem perdas para o ambiente): o calor perdido pelo corpo mais quente é igual ao calor ganho pelo corpo mais frio. Aqui, o refrigerante vai perder calor ao descer de 25^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C}; o gelo vai ganhar calor para aquecer de -20^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C} e depois para fundir.
  • Calor sensível (aquecimento/resfriamento): a fórmula é
Q = m\,c\,\Delta T,
onde Q é a energia em joules, m é a massa em kg, c é o calor específico em \mathrm{J/(kg\cdot K)} e \Delta T é a variação de temperatura em kelvin (ou graus Celsius, pois a variação é a mesma).
  • Calor de fusão (mudança de fase sólido → líquido a 0^\circ\mathrm{C}): a energia necessária é
Q_{\text{fus}} = m\,L,
onde L é o calor latente de fusão em \mathrm{J/kg} (energia por unidade de massa).
  • Valores típicos (usados aqui como padrão): calor específico da água c_{\text{água}}=4186\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}á, calor específico do gelo c_{\text{gelo}}=2100\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, calor latente de fusão do gelo L_f=334000\\ \mathrm{J/kg}. Esses valores são tabelados e comuns em exercícios; se a prova der outros valores, substitua-os da mesma forma.

Passo 3

Calor perdido pelo refrigerante ao esfriar de 25^\circ\mathrm{C} para 0^\circ\mathrm{C}.
Usamos Q_{\text{perd}} = m_{r}\,c_{\text{água}}\,(T_{r,i}-T_{f})á.
Substituindo os números:
Q_{\text{perd}} = 0,25\cdot 4186\cdot (25-0).
Calcule passo a passo: primeiro 4186\cdot 25 = 104650. Então
Q_{\text{perd}} = 0,25\cdot 104650 = 26162{,}5\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calor necessário para aquecer o gelo de -20^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C} (calor sensível do gelo).
Usamos Q_{\text{aquec}} = m_g\,c_{\text{gelo}}\,(0-(-20)) = m_g\,c_{\text{gelo}}\cdot 20.
Com c_{\text{gelo}}=2100, obtemos
Q_{\text{aquec}} = m_g\cdot 2100\cdot 20 = m_g\cdot 42000\\ \mathrm{J}.
Aqui m_g está em kg.

Passo 5

Calor necessário para fundir o gelo a 0^\circ\mathrm{C}.
Usamos Q_{\text{fus}} = m_g\,L_f com L_f=334000:
Q_{\text{fus}} = m_g\cdot 334000\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calor total absorvido pelo gelo (aquecimento + fusão):
Q_{\text{absorv}} = Q_{\text{aquec}} + Q_{\text{fus}} = m_g\cdot 42000 + m_g\cdot 334000 = m_g\cdot 376000\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Impondo conservação de energia (calor perdido pelo refrigerante = calor absorvido pelo gelo):
26162{,}5 = m_g\cdot 376000.
Isolando m_g:
m_g = \frac{26162{,}5}{376000}.
Calcule:
m_g \approx 0{,}069585\\ \mathrm{kg}.
Convertendo para gramas: m_g \approx 69{,}6\\ \mathrm{g}, que arredondado a dois dígitos significativos dá aproximadamente 70\\ \mathrm{g}.

Passo 8

Checagem rápida de ordem de grandeza (para ganhar confiança): a maior parte da energia necessária é a fusão ( L_f grande); com cerca de 2{,}6\times 10^4\\ \mathrm{J} disponíveis do refrigerante, dividir por 3{,}34\times 10^5\\ \mathrm{J/kg} já dá algo da ordem de 0{,}07\\ \mathrm{kg}. Então o resultado faz sentido.

Resposta

0,0696\\ \mathrm{kg}\approx 70\\ \mathrm{g}

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