Sejam O X Y um sistema de eixos ortogonais e \vec{v}=\overrightarrow{A B} um vetor.
Então existe um único ponto P tal que \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{A B}=\vec{v}. Além disso, as coordenadas do ponto P coincidem com as coordenadas do vetor \vec{v}.
Prova.
Passo 1
O enunciado dá:
Um sistema de eixos ortogonais OXY (ou seja, um plano com origem O e vetores unitários ortogonais \vec i e \vec j).
Um vetor \vec v=\overrightarrow{AB}, definido por dois pontos A e B.
O que se pede:
Mostrar que existe um único ponto P tal que \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{AB}=\vec v.
Mostrar que as coordenadas do ponto P coincidem com as coordenadas (componentes) do vetor \vec v.
Passo 2
Vamos traduzir tudo para coordenadas (isso é só reescrever a situação de forma que possamos calcular). Seja \,A=(x_A,y_A)\, e \,B=(x_B,y_B)\, as coordenadas dos pontos A e B no sistema OXY.
Lembrete didático: dizer que um ponto X tem coordenadas (x_X,y_X) significa que o vetor posição \overrightarrow{OX} é
\overrightarrow{OX}=x_X\vec i + y_X\vec j,
onde \vec i e \vec j são os vetores unitários ao longo dos eixos OX e OY.
Passo 3
Calcular a expressão do vetor \overrightarrow{AB} em componentes. Por definição de soma e subtração de vetores:
\overrightarrow{AB}=(x_B\vec i + y_B\vec j) - (x_A\vec i + y_A\vec j).
Agrupando coeficientes de \vec i e \vec j obtemos
\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)\vec i + (y_B-y_A)\vec j.
Passo 4
Defina as componentes do vetor \vec v=\overrightarrow{AB} por
v_x := x_B-x_A,\qquad v_y := y_B-y_A.
Assim podemos escrever
\vec v=\overrightarrow{AB}=v_x\vec i + v_y\vec j.
Explicação didática: as componentes v_x e v_y são os “deslocamentos” nas direções OX e OY que levam A a B.
Passo 5
Agora constrói-se o ponto P cujas coordenadas são exatamente essas componentes:
P=(v_x,v_y).
Pelo significado de coordenadas, o vetor posição de P é
\overrightarrow{OP}=v_x\vec i + v_y\vec j.
Passo 6
Comparando as expressões dos vetores, temos
\overrightarrow{OP}=v_x\vec i + v_y\vec j=\overrightarrow{AB}.
Portanto o ponto P construído satisfaz \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{AB}. Isso mostra a existência de pelo menos um ponto P com a propriedade pedida.
Passo 7
Provar agora a unicidade: suponha que exista outro ponto Q tal que \overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{AB}. Escrevendo em componentes,
\overrightarrow{OQ}=q_x\vec i + q_y\vec j=\overrightarrow{AB}=v_x\vec i + v_y\vec j.
Como \vec i e \vec j são linearmente independentes (são ortogonais e não-nulos), a igualdade de combinações lineares implica q_x=v_x e q_y=v_y. Assim Q tem coordenadas (v_x,v_y), isto é, Q=P. Logo não pode haver outro ponto diferente de P com essa propriedade: P é único.
Passo 8
Conectar com a segunda parte: por construção as coordenadas do ponto P são (v_x,v_y), e estas são exatamente as componentes (coordenadas) do vetor \vec v. Portanto as coordenadas de P coincidem com as coordenadas do vetor \vec v.
Passo 9
Exemplo numérico rápido (para fixar): se A=(1,2) e B=(4,5), então
\overrightarrow{AB}=(4-1)\vec i + (5-2)\vec j=3\vec i + 3\vec j,
logo v_x=3,\;v_y=3 e escolhemos P=(3,3). Verifica-se que \overrightarrow{OP}=3\vec i+3\vec j=\overrightarrow{AB}. Único ponto com essa propriedade.
Resposta
Existe um único ponto P e ele é P=(x_B-x_A,\;y_B-y_A); esse ponto satisfaz \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{AB} e as coordenadas de P coincidem com as coordenadas do vetor \vec v.