Exemplo 1

Sejam A=(1,2), B=(3,1) e C=(4,0). Determine as coordenadas do
vetor \vec{v}=\overrightarrow{A B} e as coordenadas do ponto D tal que \vec{v}=\overrightarrow{C D}.
Solução.

Passo 1

O enunciado dá os pontos A=(1,2), B=(3,1) e C=(4,0). Pede duas coisas:
  • as coordenadas do vetor \vec{v}=\overrightarrow{A B};
  • as coordenadas do ponto D tal que \vec{v}=\overrightarrow{C D}.

Passo 2

Definição e ideia prática (passo a passo): para dois pontos P=(P_x,P_y) e Q=(Q_x,Q_y), o vetor que vai de P a Q tem componentes dadas pela diferença coordenada a coordenada:
\overrightarrow{P Q}=(Q_x-P_x,\;Q_y-P_y).
Isto significa que o primeiro componente é quanto o vetor anda no eixo x (horizontal) e o segundo é quanto anda no eixo y (vertical). Vou aplicar isso a \overrightarrow{A B}.

Passo 3

Calcular \vec{v}=\overrightarrow{A B} usando a fórmula:
\overrightarrow{A B}=(B_x-A_x,\;B_y-A_y).
Substituindo A=(1,2) e B=(3,1):
\overrightarrow{A B}=(3-1,\;1-2)=(2,\,-1).

Passo 4

Entender a condição \vec{v}=\overrightarrow{C D}: usando a mesma fórmula,
\overrightarrow{C D}=(D_x-C_x,\;D_y-C_y).
Como queremos \overrightarrow{C D}=\vec{v}, isso dá o sistema
(D_x-C_x,\;D_y-C_y)=(v_x,\;v_y).
Isolando D em cada componente obtemos de forma direta a relação vetorial
D=C+\vec{v},
ou seja D_x=C_x+v_x e D_y=C_y+v_y.

Passo 5

Agora calculo D com C=(4,0) e \vec{v}=(2,-1):
D_x=4+2=6, \qquad D_y=0+(-1)=-1.
Portanto D=(6,-1).

Passo 6

Verificação rápida (para ficar tranquilo): calcule \overrightarrow{C D}=(6-4,\,-1-0)=(2,-1), que é exatamente \vec{v}. Tudo consistente.

Passo 7

Bom trabalho por estar revisando! Esse tipo de conta é muito comum em provas — memorizando a regra “subtrair as coordenadas” e a ideia de que para obter D basta somar C com o vetor, você resolve rapidinho.

Resposta

\vec{v}=(2,-1)
D=(6,-1)

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