Uma partícula começa na origem com velocidade inicial v(0)=i-j+3 k. Sua aceleração no instante t é a(t)=6 t i+ 12 t^2 j-6 t k, determine :
a) Encontre a velocidade escalar (modulo do vetor v(t) ) para t=2 s.
b) Encontre a posição da partícula em t=3 s.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que começa na origem com uma velocidade inicial dada por v(0) = i - j + 3k. A aceleração dela em qualquer instante t é a(t) = 6t,i + 12t^2,j - 6t,k. Precisamos resolver duas partes:
a) Encontrar a velocidade escalar (ou seja, o módulo do vetor velocidade) para t = 2 segundos.
b) Encontrar a posição da partícula em t = 3 segundos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática vetorial, que envolve integrar a aceleração para encontrar a velocidade e, depois, integrar a velocidade para encontrar a posição.

Passo 2

Vamos começar com a parte a): encontrar a velocidade escalar em t = 2 s.
Primeiro, precisamos encontrar a expressão para a velocidade v(t). Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Portanto, para encontrar a velocidade, vamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
A aceleração dada é:
a(t) = 6t,i + 12t^2,j - 6t,k
Integrando cada componente:
integral a(t),dt = integral 6t,dt,i + integral 12t^2,dt,j + integral (-6t),dt,k
Calculando as integrais:
= 3t^2,i + 4t^3,j - 3t^2,k + C
Onde C é a constante de integração, que na verdade corresponde à velocidade inicial v(0).
Sabemos que v(0) = i - j + 3k, então:
C = v(0) = i - j + 3k
Portanto, a expressão completa para a velocidade é:
v(t) = 3t^2,i + 4t^3,j - 3t^2,k + i - j + 3k
Simplificando:
v(t) = (3t^2 + 1),i + (4t^3 - 1),j + (-3t^2 + 3),k

Passo 3

Agora que temos v(t), vamos encontrar o módulo dessa velocidade, que é a velocidade escalar. O módulo de um vetor v = vx,i + vy,j + vz,k é dado por:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Aplicando isso à nossa expressão para v(t):
|v(t)| = raiz(3t^2 + 1)^2 + (4t^3 - 1)^2 + (-3t^2 + 3)^2
Vamos calcular isso para t = 2 segundos:
|v(2)| = raiz(3(2)^2 + 1)^2 + (4(2)^3 - 1)^2 + (-3(2)^2 + 3)^2
= raiz(12 + 1)^2 + (32 - 1)^2 + (-12 + 3)^2
= raiz13^2 + 31^2 + (-9)^2
= raiz169 + 961 + 81
= raiz1211
approx 34,80, m/s

Passo 4

Agora vamos para a parte b): encontrar a posição da partícula em t = 3 segundos.
Sabemos que a posição é a integração da velocidade em relação ao tempo. Já temos a expressão para v(t), então vamos integrá-la:
v(t) = (3t^2 + 1),i + (4t^3 - 1),j + (-3t^2 + 3),k
Integrando cada componente:
integral v(t),dt = integral (3t^2 + 1),dt,i + integral (4t^3 - 1),dt,j + integral (-3t^2 + 3),dt,k
Calculando as integrais:
= t^3 + t + Ci,i + t^4 - t + Cj,j + -t^3 + 3t + Ck,k
As constantes de integração Ci, Cj, e Ck correspondem à posição inicial. Já que a partícula começa na origem, r(0) = 0, então todas as constantes são zero.
Portanto, a posição r(t) é:
r(t) = (t^3 + t),i + (t^4 - t),j + (-t^3 + 3t),k
Agora, vamos calcular para t = 3 segundos:
r(3) = (3^3 + 3),i + (3^4 - 3),j + (-3^3 + 3 times 3),k
= (27 + 3),i + (81 - 3),j + (-27 + 9),k
= 30,i + 78,j - 18,k

Resposta

a) A velocidade escalar da partícula em t = 2,s é aproximadamente 34,80,m/s.
b) A posição da partícula em t = 3,s é r(3) = 30,i + 78,j - 18,k.

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