Uma partícula começa na origem com velocidade inicial
. Sua aceleração no instante t é
, determine :
a) Encontre a velocidade escalar (modulo do vetor
) para
.
b) Encontre a posição da partícula em
.
a) Encontre a velocidade escalar (modulo do vetor
b) Encontre a posição da partícula em
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que começa na origem com uma velocidade inicial dada por
. A aceleração dela em qualquer instante
é
. Precisamos resolver duas partes:
a) Encontrar a velocidade escalar (ou seja, o módulo do vetor velocidade) para
segundos.
b) Encontrar a posição da partícula em
segundos.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática vetorial, que envolve integrar a aceleração para encontrar a velocidade e, depois, integrar a velocidade para encontrar a posição.
Passo 2
Vamos começar com a parte a): encontrar a velocidade escalar em
s.
Primeiro, precisamos encontrar a expressão para a velocidade
. Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Portanto, para encontrar a velocidade, vamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
A aceleração dada é:
Integrando cada componente:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração, que na verdade corresponde à velocidade inicial
.
Sabemos que
, então:
Portanto, a expressão completa para a velocidade é:
Simplificando:
Passo 3
Agora que temos
, vamos encontrar o módulo dessa velocidade, que é a velocidade escalar. O módulo de um vetor
é dado por:
Aplicando isso à nossa expressão para
:
Vamos calcular isso para
segundos:
Passo 4
Agora vamos para a parte b): encontrar a posição da partícula em
segundos.
Sabemos que a posição é a integração da velocidade em relação ao tempo. Já temos a expressão para
, então vamos integrá-la:
Integrando cada componente:
Calculando as integrais:
As constantes de integração
,
, e
correspondem à posição inicial. Já que a partícula começa na origem,
, então todas as constantes são zero.
Portanto, a posição
é:
Agora, vamos calcular para
segundos:
Resposta
a) A velocidade escalar da partícula em
é aproximadamente
.
b) A posição da partícula em
é
.