Exemplo 5. Determinando a solução geral da EDO y^prime prime+y^prime+y=x^2+2 x-1+e^x. Primeiro determinamos a solução yh da equação homogênea y^prime prime+y^prime+y=0.
Temos uma EDO com coeficientes constantes. Então podemos reescrever nossa EDO como:
r^2+r+1=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
y'' + y' + y = x^2 + 2x -1 + e^x
Aqui, estamos trabalhando com EDOs de coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela solução homogênea ( yh) e pela solução particular ( yp). A solução homogênea resolve a parte igualada a zero da equação, e a solução particular resolve a parte não homogênea, que nesse caso é x^2 + 2x -1 + e^x.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a solução homogênea ( yh) resolvendo a equação homogênea associada:
y'' + y' + y = 0
Para isso, montamos a equação característica substituindo y'' por r^2, y' por r, e y por 1:
r^2 + r + 1 = 0

Passo 3

Vamos resolver a equação quadrática r^2 + r + 1 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = 1, e c = 1. Substituindo:
r = -1 pm raiz1 - 42 = -1 pm raiz-32 = -1 pm iraiz32
Então, temos duas raízes complexas: r = -12 + raiz32i e r = -12 - raiz32i.

Passo 4

Com as raízes complexas, a solução homogênea é dada por:
yh = e^alpha x ( C1 cos(beta x) + C2 sin(beta x) )
Onde alpha = -12 e beta = raiz32. Então:
yh = e^-12x ( C1 cos( raiz32x ) + C2 sin( raiz32x ) )

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular ( yp) para a parte não homogênea x^2 + 2x -1 + e^x. Vamos dividir isso em duas partes:
  1. Parte polinomial: x^2 + 2x -1
  2. Parte exponencial: e^x
Vamos encontrar uma solução particular para cada uma dessas partes e depois somá-las.

Passo 6

Para a parte polinomial x^2 + 2x -1:
Assumimos uma solução particular da forma:
yp1 = A x^2 + B x + C
Onde A, B e C são constantes que vamos determinar.
Para a parte exponencial e^x:
Assumimos uma solução particular da forma:
yp2 = D e^x
Onde D é uma constante a ser determinada.

Passo 7

Vamos substituir yp1 e yp2 na equação original e encontrar os valores de A, B, C e D.
Substituindo yp1:
yp1 = A x^2 + B x + C
Derivando:
yp1' = 2A x + B
yp1'' = 2A
Substituindo na EDO:
2A + (2A x + B) + (A x^2 + B x + C) = x^2 + 2x -1
Agrupando os termos:
A x^2 + (2A + B) x + (2A + B + C) = x^2 + 2x -1
Igualando os coeficientes:
A = 1 2A + B = 2 2A + B + C = -1
Resolvendo:
A = 1
2(1) + B = 2 Rightarrow B = 0
2(1) + 0 + C = -1 Rightarrow C = -3
Então:
yp1 = x^2 -3
Substituindo yp2:
yp2 = D e^x
Derivando:
yp2' = D e^x
yp2'' = D e^x
Substituindo na EDO:
D e^x + D e^x + D e^x = e^x
Simplificando:
3D e^x = e^x
Logo:
3D = 1 Rightarrow D = 13
Então:
yp2 = 13 e^x

Passo 8

Agora, juntamos as soluções encontradas:
  • Solução homogênea:
yh = e^-12x ( C1 cos( raiz32x ) + C2 sin( raiz32x ) )
  • Solução particular:
yp = yp1 + yp2 = x^2 -3 + 13 e^x

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = e^ -12x ( C1 cos( raiz3 2x ) + C2 sin( raiz3 2x ) ) + x^2 -3 + 13 e^x
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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