Exemplo 5. Determinando a solução geral da EDO . Primeiro determinamos a solução da equação homogênea .
Temos uma EDO com coeficientes constantes. Então podemos reescrever nossa EDO como:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem:
Aqui, estamos trabalhando com EDOs de coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral, que é composta pela solução homogênea () e pela solução particular (). A solução homogênea resolve a parte igualada a zero da equação, e a solução particular resolve a parte não homogênea, que nesse caso é .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a solução homogênea () resolvendo a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo por , por , e por :
Passo 3
Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Substituindo:
Então, temos duas raízes complexas: e .
Passo 4
Com as raízes complexas, a solução homogênea é dada por:
Onde e . Então:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular () para a parte não homogênea . Vamos dividir isso em duas partes:
Parte polinomial:
Parte exponencial:
Vamos encontrar uma solução particular para cada uma dessas partes e depois somá-las.
Passo 6
Para a parte polinomial :
Assumimos uma solução particular da forma:
Onde , e são constantes que vamos determinar.
Para a parte exponencial :
Assumimos uma solução particular da forma:
Onde é uma constante a ser determinada.
Passo 7
Vamos substituir e na equação original e encontrar os valores de , , e .