Seja (
) uma sequência limitada e
uma sequência convergente, com
0 . Mostre que a sequência
converge para 0 . (Dica: Use o Teorema do Confronto e o fato de que, por ser limitada, existe uma constante
tal que
para todo
.)
Calcule o limite das seguintes sequências, utilizando o resultado da questão anterior sempre que possível. (Dica: Utilize o resultado da Questão anterior.)
Calcule o limite das seguintes sequências, utilizando o resultado da questão anterior sempre que possível. (Dica: Utilize o resultado da Questão anterior.)
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos provar que, se
é limitada (isto é, existe
com
para todo
) e
converge para zero (isto é,
), então
converge para zero. Em seguida, vamos calcular
usando esse resultado.
Passo 2
Como
é limitada, existe
tal que
para todo
. Como
, temos
. Observe que
block: |-
block: |-
| [|a_n b_n| = |a_n|\cdot|b_n| \le M,|b_n|.
Passo 3
Agora,
porque
. Pelo Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), como
block: |-
| 0 \le |a_n b_n| \le M|b_n|
e o limite da parte de cima e de baixo é zero, concluímos que
block: |-
|
block: |-
| 0 \le |a_n b_n| \le M|b_n|
e o limite da parte de cima e de baixo é zero, concluímos que
block: |-
|
Passo 4
Para a sequência
, note que
está sempre entre 0 e 1, ou seja,
. Logo,
é limitada (podemos tomar
) e
converge a 0. Aplicando o resultado acima, obtemos que
block: |-
|
block: |-
|
Resposta
0