Seja ( an ) uma sequência limitada e
lim n infty bn= uma sequência convergente, com M>0 0 . Mostre que a sequência n converge para 0 . (Dica: Use o Teorema do Confronto e o fato de que, por ser limitada, existe uma constante tal que para todo .)
Calcule o limite das seguintes sequências, utilizando o resultado da questão anterior sempre que possível. (Dica: Utilize o resultado da Questão anterior.)

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos provar que, se (an) é limitada (isto é, existe M>0 com |an|<= M para todo n) e (bn) converge para zero (isto é, limntoinftybn=0), então (an,bn) converge para zero. Em seguida, vamos calcular limntoinftysin^2(n^2)n^2 usando esse resultado.

Passo 2

Como (an) é limitada, existe M>0 tal que |an|<= M para todo n. Como bnto0, temos |bn|to0. Observe que
block: |-
| [|a_n b_n| = |a_n|\cdot|b_n| \le M,|b_n|.

Passo 3

Agora, M|bn|to0 porque |bn|to0. Pelo Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), como
block: |-
| 0 \le |a_n b_n| \le M|b_n|
e o limite da parte de cima e de baixo é zero, concluímos que
block: |-
| limntoinftyan bn = 0

Passo 4

Para a sequência an = sin^2(n^2)n^2, note que sin^2(n^2) está sempre entre 0 e 1, ou seja, 0<=sin^2(n^2)<=1. Logo, (sin^2(n^2)) é limitada (podemos tomar M=1) e bn=1/n^2 converge a 0. Aplicando o resultado acima, obtemos que
block: |-
| limntoinftysin^2(n^2)n^2 = 0

Resposta

0

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