Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes. Caso convirjam, determine a sua soma.
sumn=1^infty (-5)^n8^2 n

Passo 1

O enunciado pede pra verificar se a série sumn=1^infty(-5)^n8^2n converge e, caso positivo, calcular sua soma. O conteúdo envolvido é séries geométricas, então vamos precisar identificar a razão r, aplicar o critério de convergência |r|<1 e usar a fórmula de soma de uma série geométrica.

Passo 2

Observando que 8^2n=(8^2)^n=64^n, podemos reescrever o termo geral como
an = (-5)^n8^2n = (-564)^n
Isso mostra que nossa série é geométrica com primeiro termo a1=-564 e razão r=-564.

Passo 3

Como |r|=tfrac564<1, a série converge. Para séries geométricas convergentes, a soma é dada por
S = a11 - r

Passo 4

Substituindo a1=-564 e r=-564, temos
S = -5/641 - (-5/64) = -5/641 + 5/64 = -5/6469/64 = -569

Resposta

A série converge e sua soma é -tfrac569.

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