EXEMPLO 1
Determine a derivada de \mathbf{r}(t)=\left(1+t^{3}\right) \mathbf{i}+t e^{-t} \mathbf{j}+\operatorname{sen} 2 t \mathbf{k}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função vetorial \mathbf{r}(t) dada. Informações fornecidas:
  • A função vetorial é \mathbf{r}(t)=\left(1+t^{3}\right)\mathbf{i}+t e^{-t}\mathbf{j}+\operatorname{sen}2t\,\mathbf{k}.
  • A pergunta a responder: calcular \mathbf{r}'(t), a derivada de \mathbf{r}(t) em termos de t.
  • Não há outras restrições; a derivada deve ser obtida usando as regras usuais de diferenciação aplicadas componente a componente.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicado de forma simples): a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Se
\mathbf{r}(t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j}+z(t)\mathbf{k},
então
\mathbf{r}'(t)=x'(t)\mathbf{i}+y'(t)\mathbf{j}+z'(t)\mathbf{k}.
Isto vem da definição de derivada usando limite e da linearidade limite por limite — na prática, basta derivar cada coordenada escalar separadamente.

Passo 3

Revisão das regras de diferenciação que vamos aplicar (com explicações e exemplos simples):
  • Regra da soma e da constante: a derivada de a+f(t) é 0+f'(t)=f'(t). Ex.: \dfrac{d}{dt}(1+t^3)=\dfrac{d}{dt}1+\dfrac{d}{dt}t^3=0+3t^2=3t^2.
  • Regra do poder (power rule): \dfrac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}. Ex.: \dfrac{d}{dt}t^3=3t^2.
  • Derivada da exponencial: \dfrac{d}{dt}e^{u(t)}=u'(t)e^{u(t)}. Ex.: \dfrac{d}{dt}e^{-t}=(-1)e^{-t}=-e^{-t}.
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dt}[u(t)v(t)]=u'(t)v(t)+u(t)v'(t). Ex.: para u(t)=t e v(t)=e^{-t} teremos 1\cdot e^{-t}+t\cdot(-e^{-t}).
  • Regra da cadeia para função composta: \dfrac{d}{dt}f(u(t))=f'(u(t))\cdot u'(t). Ex.: \dfrac{d}{dt}\sin(2t)=\cos(2t)\cdot 2=2\cos(2t).
Vou aplicar essas regras diretamente às componentes de \mathbf{r}(t).

Passo 4

Derivar componente por componente:
  1. Componente em \mathbf{i}: x(t)=1+t^{3}. Aplicando regra da soma e poder,
x'(t)=\dfrac{d}{dt}(1+t^{3})=0+3t^{2}=3t^{2}.
  1. Componente em \mathbf{j}: y(t)=t e^{-t}. Aplicando a regra do produto com u(t)=t e v(t)=e^{-t}:
u'(t)=1,\qquad v'(t)=\dfrac{d}{dt}e^{-t}=-e^{-t}.
Portanto
y'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t)=1\cdot e^{-t}+t\cdot(-e^{-t})=e^{-t}-t e^{-t}=(1-t)e^{-t}.
  1. Componente em \mathbf{k}: z(t)=\operatorname{sen}2t. Aplicando a regra da cadeia (a derivada de \sin u é \cos u vezes u'):
z'(t)=\dfrac{d}{dt}\operatorname{sen}2t=\cos(2t)\cdot \dfrac{d}{dt}(2t)=\cos(2t)\cdot 2=2\cos(2t).

Passo 5

Juntando as três componentes obtidas, a derivada vetorial é
\mathbf{r}'(t)=3t^{2}\,\mathbf{i}+(1-t)e^{-t}\,\mathbf{j}+2\cos(2t)\,\mathbf{k}.
Essa é a forma final simplificada; cada termo veio da diferenciação da componente correspondente.

Resposta

\mathbf{r}'(t)=3t^{2}\,\mathbf{i}+(1-t)e^{-t}\,\mathbf{j}+2\cos(2t)\,\mathbf{k}.

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