EXEMPLO 1
Determine a derivada de
.
Determine a derivada de
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função vetorial
dada. Informações fornecidas:
- A função vetorial é
- A pergunta a responder: calcular
, a derivada de em termos de . - Não há outras restrições; a derivada deve ser obtida usando as regras usuais de diferenciação aplicadas componente a componente.
Passo 2
Conceito básico que vamos usar (explicado de forma simples): a derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Se
então
Isto vem da definição de derivada usando limite e da linearidade limite por limite — na prática, basta derivar cada coordenada escalar separadamente.
Passo 3
Revisão das regras de diferenciação que vamos aplicar (com explicações e exemplos simples):
- Regra da soma e da constante: a derivada de
é . Ex.: . - Regra do poder (power rule):
. Ex.: . - Derivada da exponencial:
. Ex.: . - Regra do produto:
. Ex.: para e teremos . - Regra da cadeia para função composta:
. Ex.: .
Vou aplicar essas regras diretamente às componentes de
.
Passo 4
Derivar componente por componente:
- Componente em
: . Aplicando regra da soma e poder,
- Componente em
: . Aplicando a regra do produto com e :
Portanto
- Componente em
: . Aplicando a regra da cadeia (a derivada de é vezes ):
Passo 5
Juntando as três componentes obtidas, a derivada vetorial é
Essa é a forma final simplificada; cada termo veio da diferenciação da componente correspondente.