EXEMPL0 2 Determine
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar
, onde
Informações dadas:
- A primeira componente é
. - A segunda componente é
. - A terceira componente é
(seno de dividido por ).
A pergunta é: qual é o valor do limite vetorial quandotende a ?
Passo 2
Ideia principal (regra que vamos usar): o limite de um vetor é o vetor dos limites das componentes, desde que cada limite de componente exista. Ou seja,
Vou calcular cada um desses três limites separadamente.
Passo 3
Primeira componente:
.
Explicação: polinômios são funções contínuas, então pode-se simplesmente substituir
.
Passo 4
Segunda componente:
.
Explicação: o produto de limites existe se cada limite existe. Temos
(pois a função exponencial é contínua). Portanto
Passo 5
Terceira componente:
.
Explicação didática (duas maneiras rápidas — escolho a de L’Hôpital por ser direta):
- Observa-se que ao substituir
obtemos a forma indeterminada . Pelo teorema de L’Hôpital, se é da forma e são diferenciáveis com perto de , então
quando esse limite existir.
Aqui e
. Então
e
. Assim
Aqui
Observação: outra forma clássica é usar o lema do aperto (squeeze): para
perto de
tem-se
(em valor absoluto), levando também ao limite
.
Passo 6
Reunindo os resultados das três componentes:
- primeira componente tende a
, - segunda componente tende a
, - terceira componente tende a
.
Portanto o limite vetorial existe e é o vetor cujas componentes são esses limites.