EXEMPL0 2 Determine \lim _{t \rightarrow 0} \mathbf{r}(t), onde \mathbf{r}(t)=\left(1+t^{3}\right) \mathbf{i}+t e^{-t} \mathbf{j}+\frac{\operatorname{sen} t}{t} \mathbf{k}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar \lim_{t\to 0}\mathbf{r}(t), onde
\mathbf{r}(t)=\bigl(1+t^{3}\bigr)\mathbf{i}+t e^{-t}\mathbf{j}+\frac{\operatorname{sen}t}{t}\mathbf{k}.
Informações dadas:
  • A primeira componente é 1+t^{3}.
  • A segunda componente é t e^{-t}.
  • A terceira componente é \dfrac{\operatorname{sen}t}{t} (seno de t dividido por t).
    A pergunta é: qual é o valor do limite vetorial quando t tende a 0?

Passo 2

Ideia principal (regra que vamos usar): o limite de um vetor é o vetor dos limites das componentes, desde que cada limite de componente exista. Ou seja,
\lim_{t\to 0}\mathbf{r}(t) = \left( \lim_{t\to 0}\bigl(1+t^{3}\bigr),\; \lim_{t\to 0} t e^{-t},\; \lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}t}{t} \right).
Vou calcular cada um desses três limites separadamente.

Passo 3

Primeira componente: \lim_{t\to 0}\bigl(1+t^{3}\bigr).
Explicação: polinômios são funções contínuas, então pode-se simplesmente substituir t=0.
\lim_{t\to 0}\bigl(1+t^{3}\bigr)=1+0^{3}=1.

Passo 4

Segunda componente: \lim_{t\to 0} t e^{-t}.
Explicação: o produto de limites existe se cada limite existe. Temos
\lim_{t\to 0} t = 0, \qquad \lim_{t\to 0} e^{-t} = e^{0}=1
(pois a função exponencial é contínua). Portanto
\lim_{t\to 0} t e^{-t} = 0\cdot 1 = 0.

Passo 5

Terceira componente: \lim_{t\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}t}{t}.
Explicação didática (duas maneiras rápidas — escolho a de L’Hôpital por ser direta):
  1. Observa-se que ao substituir t=0 obtemos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Pelo teorema de L’Hôpital, se \lim_{t\to 0}\dfrac{f(t)}{g(t)} é da forma \dfrac{0}{0} e f,g são diferenciáveis com g'(t)\neq 0 perto de 0, então
\lim_{t\to 0}\frac{f(t)}{g(t)}=\lim_{t\to 0}\frac{f'(t)}{g'(t)},
quando esse limite existir.
Aqui f(t)=\sin t e g(t)=t. Então f'(t)=\cos t e g'(t)=1. Assim
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}t}{t} = \lim_{t\to 0}\frac{\cos t}{1}=\cos 0=1.
Observação: outra forma clássica é usar o lema do aperto (squeeze): para t perto de 0 tem-se \cos t \le \dfrac{\sin t}{t}\le 1 (em valor absoluto), levando também ao limite 1.

Passo 6

Reunindo os resultados das três componentes:
  • primeira componente tende a 1,
  • segunda componente tende a 0,
  • terceira componente tende a 1.
Portanto o limite vetorial existe e é o vetor cujas componentes são esses limites.

Resposta

\,(1,0,1)

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