EXEMPL0 3 Determine as equações paramétricas para a reta tangente à hélice com equações paramétricas
Passo 1
O enunciado dá as equações paramétricas da hélice e pede a reta tangente a ela. Informações fornecidas:
- As coordenadas da hélice em função do parâmetro
são
- Quer-se a reta tangente à curva (isto é, a reta que toca a hélice em um ponto e tem a direção do vetor tangente naquele ponto).
O que vamos procurar: as equações paramétricas da reta tangente no ponto correspondente a um parâmetro genérico
. Ou seja, a resposta ficará em termos de
(o valor do parâmetro onde queremos a tangente) e de um novo parâmetro da reta, que chamaremos de
.
Passo 2
É mais claro trabalhar com a representação vetorial da curva. Escrevemos o vetor posição
que vai do origem até um ponto da hélice:
Aqui cada componente representa a coordenada
,
e
da hélice em função de
.
Passo 3
Conceito importante (explicação didática): a reta tangente à curva num ponto é a reta que passa por esse ponto com direção dada pelo vetor tangente naquele ponto. O vetor tangente é a derivada do vetor posição,
, definida componente a componente como o limite dos vetores secantes. Em prática de prova: derivar componente a componente.
Vamos calcular
componente a componente:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto
Passo 4
Avaliar no ponto de tangência correspondente a um parâmetro fixo
. O ponto na hélice é
e o vetor direção da reta tangente é
:
Passo 5
Fórmula da reta em forma vetorial (explicação didática): a reta que passa por um ponto
com vetor direção
é dada por
onde
é o parâmetro da reta. Aplicando isso ao nosso caso com
e
obtemos a equação vetorial da reta tangente:
Passo 6
Escrevendo as componentes dessa reta em equações paramétricas (cada linha é uma coordenada):
Estas são as equações paramétricas da reta tangente à hélice no ponto correspondente a
. Na prova, usar
específico se pedirem a tangente em um valor numérico de
.
Passo 7
Exemplo rápido para fixar (didático): se escolhermos
então
e a reta tangente é
ou seja
e
. Isso mostra como aplicar a fórmula com um
concreto.