EXEMPL0 3 Determine as equações paramétricas para a reta tangente à hélice com equações paramétricas
x=2 \cos t \quad y=\operatorname{sen} t \quad z=t

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas da hélice e pede a reta tangente a ela. Informações fornecidas:
  • As coordenadas da hélice em função do parâmetro t são
x=2\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad z=t.
  • Quer-se a reta tangente à curva (isto é, a reta que toca a hélice em um ponto e tem a direção do vetor tangente naquele ponto).
O que vamos procurar: as equações paramétricas da reta tangente no ponto correspondente a um parâmetro genérico t_0. Ou seja, a resposta ficará em termos de t_0 (o valor do parâmetro onde queremos a tangente) e de um novo parâmetro da reta, que chamaremos de s.

Passo 2

É mais claro trabalhar com a representação vetorial da curva. Escrevemos o vetor posição \mathbf{r}(t) que vai do origem até um ponto da hélice:
\mathbf{r}(t)=\langle 2\cos t,\;\sin t,\;t\rangle.
Aqui cada componente representa a coordenada x, y e z da hélice em função de t.

Passo 3

Conceito importante (explicação didática): a reta tangente à curva num ponto é a reta que passa por esse ponto com direção dada pelo vetor tangente naquele ponto. O vetor tangente é a derivada do vetor posição, \mathbf{r}'(t), definida componente a componente como o limite dos vetores secantes. Em prática de prova: derivar componente a componente.
Vamos calcular \mathbf{r}'(t) componente a componente:
  • Derivada de 2\cos t em relação a t é -2\sin t.
  • Derivada de \sin t é \cos t.
  • Derivada de t é 1.
Portanto
\mathbf{r}'(t)=\langle -2\sin t,\;\cos t,\;1\rangle.

Passo 4

Avaliar no ponto de tangência correspondente a um parâmetro fixo t_0. O ponto na hélice é \mathbf{r}(t_0) e o vetor direção da reta tangente é \mathbf{r}'(t_0):
\mathbf{r}(t_0)=\langle 2\cos t_0,\;\sin t_0,\;t_0\rangle, \qquad \mathbf{r}'(t_0)=\langle -2\sin t_0,\;\cos t_0,\;1\rangle.

Passo 5

Fórmula da reta em forma vetorial (explicação didática): a reta que passa por um ponto \mathbf{P}_0 com vetor direção \mathbf{v} é dada por
\mathbf{L}(s)=\mathbf{P}_0 + s\,\mathbf{v},
onde s é o parâmetro da reta. Aplicando isso ao nosso caso com \mathbf{P}_0=\mathbf{r}(t_0) e \mathbf{v}=\mathbf{r}'(t_0) obtemos a equação vetorial da reta tangente:
\mathbf{L}(s)=\mathbf{r}(t_0)+s\,\mathbf{r}'(t_0).

Passo 6

Escrevendo as componentes dessa reta em equações paramétricas (cada linha é uma coordenada):
x(s)=2\cos t_0 + s\bigl(-2\sin t_0\bigr),
y(s)=\sin t_0 + s\bigl(\cos t_0\bigr),
z(s)=t_0 + s\cdot 1.
Estas são as equações paramétricas da reta tangente à hélice no ponto correspondente a t=t_0. Na prova, usar t_0 específico se pedirem a tangente em um valor numérico de t.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar (didático): se escolhermos t_0=0 então
\mathbf{r}(0)=\langle 2,0,0\rangle,\qquad \mathbf{r}'(0)=\langle 0,1,1\rangle,
e a reta tangente é
x=2,\qquad y=s,\qquad z=s,
ou seja x=2 e y=z. Isso mostra como aplicar a fórmula com um t_0 concreto.

Resposta

x=2\cos t_0 -2s\sin t_0
y=\sin t_0 + s\cos t_0
z=t_0 + s

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