O vetor dos termos independentes é \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}.
A tarefa: aplicar a regra de Cramer (calcular determinante de A e determinantes com colunas substituídas) para obter x,\;y,\;z.]
Passo 2
Breve aula sobre o método de Cramer e como calcular determinantes 3\times3.
Regra de Cramer (em palavras simples): para um sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} com A invertível, cada incógnita é dada por
x_i=\frac{\Delta_i}{\Delta},
onde \Delta=\det(A) e \Delta_i é o determinante da matriz obtida substituindo a i-ésima coluna de A pelo vetor \mathbf{b}.
Como calcular determinante de uma matriz 3\times3 (fórmula prática, conhecida como regra de Sarrus): para
M=\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix},
temos
\det(M)=a e i + b f g + c d h - (c e g + b d i + a f h).
Explicando cada termo: multiplica-se as três entradas de cada diagonal que vai da esquerda superior para a direita inferior e soma; depois subtrai-se a soma das três diagonais que vão da direita superior para a esquerda inferior. Vou usar essa fórmula em cada determinante.]
então, usando a fórmula com a=1,\\ b=-1,\\ c=1,\\ d=1,\\ e=0,\\ f=2,\\ g=1,\\ h=2,\\ i=-1,
calculemos cada termo:
Termos positivos:
a e i = 1\cdot 0\cdot(-1)=0,
b f g = (-1)\cdot 2\cdot 1 = -2,
c d h = 1\cdot 1\cdot 2 = 2.
Soma dos positivos =0-2+2=0.
Termos a subtrair:
c e g = 1\cdot 0\cdot 1 = 0,
b d i = (-1)\cdot 1\cdot(-1) = 1,
a f h = 1\cdot 2\cdot 2 = 4.
Soma a subtrair =0+1+4=5.
Portanto
\Delta=\det(A)=0-5=-5.]
Passo 4
Interpretação: \Delta=-5\neq 0. Isso significa que a matriz dos coeficientes é invertível e o sistema tem única solução. Podemos aplicar Cramer normalmente.
Passo 5
Cálculo de \Delta_x: substituir a primeira coluna de A pelo vetor dos termos \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}: