Exercício 4. Resolva os seguintes sistemas pelo metodo de Cramer
\left\{\begin{array}{r}x-y+z=2 \x+2 z=1 \x+2 y-z=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear e pede para resolvê-lo pelo método de Cramer:
\left\{\begin{array}{r} x-y+z=2\\[4pt] x+2z=1\\[4pt] x+2y-z=0 \end{array}\right.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As incógnitas são x,\;y,\;z.
  • O sistema em forma matricial tem a matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 2\\[4pt] 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}
  • O vetor dos termos independentes é \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}.
  • A tarefa: aplicar a regra de Cramer (calcular determinante de A e determinantes com colunas substituídas) para obter x,\;y,\;z.]

Passo 2

Breve aula sobre o método de Cramer e como calcular determinantes 3\times3.
Regra de Cramer (em palavras simples): para um sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} com A invertível, cada incógnita é dada por
x_i=\frac{\Delta_i}{\Delta},
onde \Delta=\det(A) e \Delta_i é o determinante da matriz obtida substituindo a i-ésima coluna de A pelo vetor \mathbf{b}.
Como calcular determinante de uma matriz 3\times3 (fórmula prática, conhecida como regra de Sarrus): para
M=\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix},
temos
\det(M)=a e i + b f g + c d h - (c e g + b d i + a f h).
Explicando cada termo: multiplica-se as três entradas de cada diagonal que vai da esquerda superior para a direita inferior e soma; depois subtrai-se a soma das três diagonais que vão da direita superior para a esquerda inferior. Vou usar essa fórmula em cada determinante.]

Passo 3

Cálculo de \Delta=\det(A). Aqui
A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 2\\[4pt] 1 & 2 & -1 \end{pmatrix},
então, usando a fórmula com a=1,\\ b=-1,\\ c=1,\\ d=1,\\ e=0,\\ f=2,\\ g=1,\\ h=2,\\ i=-1,
calculemos cada termo:
Termos positivos:
a e i = 1\cdot 0\cdot(-1)=0,
b f g = (-1)\cdot 2\cdot 1 = -2,
c d h = 1\cdot 1\cdot 2 = 2.
Soma dos positivos =0-2+2=0.
Termos a subtrair:
c e g = 1\cdot 0\cdot 1 = 0,
b d i = (-1)\cdot 1\cdot(-1) = 1,
a f h = 1\cdot 2\cdot 2 = 4.
Soma a subtrair =0+1+4=5.
Portanto
\Delta=\det(A)=0-5=-5.]

Passo 4

Interpretação: \Delta=-5\neq 0. Isso significa que a matriz dos coeficientes é invertível e o sistema tem única solução. Podemos aplicar Cramer normalmente.

Passo 5

Cálculo de \Delta_x: substituir a primeira coluna de A pelo vetor dos termos \begin{pmatrix}2\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}:
A_x=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\[4pt] 1 & 0 & 2\\[4pt] 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}.
Agora aplicando a fórmula com a=2,\\ b=-1,\\ c=1,\\ d=1,\\ e=0,\\ f=2,\\ g=0,\\ h=2,\\ i=-1:
Termos positivos:
a e i = 2\cdot 0\cdot(-1)=0,
b f g = (-1)\cdot 2\cdot 0 = 0,
c d h = 1\cdot 1\cdot 2 = 2.
Soma dos positivos =2.
Termos a subtrair:
c e g = 1\cdot 0\cdot 0 = 0,
b d i = (-1)\cdot 1\cdot(-1) = 1,
a f h = 2\cdot 2\cdot 2 = 8.
Soma a subtrair =0+1+8=9.
Logo
\Delta_x=\det(A_x)=2-9=-7.]

Passo 6

Cálculo de \Delta_y: substituir a segunda coluna de A pelo vetor dos termos:
A_y=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & 1 & 2\\[4pt] 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Com a=1,\\ b=2,\\ c=1,\\ d=1,\\ e=1,\\ f=2,\\ g=1,\\ h=0,\\ i=-1:
Termos positivos:
a e i = 1\cdot 1\cdot(-1) = -1,
b f g = 2\cdot 2\cdot 1 = 4,
c d h = 1\cdot 1\cdot 0 = 0.
Soma dos positivos =-1+4+0=3.
Termos a subtrair:
c e g = 1\cdot 1\cdot 1 = 1,
b d i = 2\cdot 1\cdot(-1) = -2,
a f h = 1\cdot 2\cdot 0 = 0.
Soma a subtrair =1+(-2)+0=-1.
Portanto
\Delta_y=\det(A_y)=3-(-1)=4.]

Passo 7

Cálculo de \Delta_z: substituir a terceira coluna de A pelo vetor dos termos:
A_z=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\[4pt] 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Com a=1,\\ b=-1,\\ c=2,\\ d=1,\\ e=0,\\ f=1,\\ g=1,\\ h=2,\\ i=0:
Termos positivos:
a e i = 1\cdot 0\cdot 0 = 0,
b f g = (-1)\cdot 1\cdot 1 = -1,
c d h = 2\cdot 1\cdot 2 = 4.
Soma dos positivos =0-1+4=3.
Termos a subtrair:
c e g = 2\cdot 0\cdot 1 = 0,
b d i = (-1)\cdot 1\cdot 0 = 0,
a f h = 1\cdot 1\cdot 2 = 2.
Soma a subtrair =0+0+2=2.
Logo
\Delta_z=\det(A_z)=3-2=1.]

Passo 8

Aplicando Cramer:
x=\frac{\Delta_x}{\Delta}=\frac{-7}{-5}=\frac{7}{5},
y=\frac{\Delta_y}{\Delta}=\frac{4}{-5}=-\frac{4}{5},
z=\frac{\Delta_z}{\Delta}=\frac{1}{-5}=-\frac{1}{5}.
Verificação rápida (opcional, só para ganhar confiança): substituir na primeira equação:
x-y+z=\frac{7}{5}-\Big(-\frac{4}{5}\Big)-\frac{1}{5}=\frac{7}{5}+\frac{4}{5}-\frac{1}{5}=\frac{10}{5}=2,
confere; as demais equações também conferem (pode checar se quiser).

Resposta

x=\dfrac{7}{5}
y=-\dfrac{4}{5}
z=-\dfrac{1}{5}

Exercícios relacionados