Corolário 1

As retas r_{1}: a x+b y=c \quad e \quad r_{2}: a^{\prime} x+b^{\prime} y=c^{\prime} são coincidentes se, e somente se, existe \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq 0, tal que
\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)=\lambda(a, b) \quad e \quad c^{\prime}=\lambda c

Passo 1

O enunciado dá duas retas escritas na forma linear:
r_{1}: a x+b y=c
r_{2}: a' x+b' y=c'
e pede para provar a equivalência "as retas são coincidentes se, e somente se, existe \lambda\in\mathbb{R}, \lambda\neq0, tal que
\left(a',b'\right)=\lambda(a,b)\quad\text{e}\quad c'=\lambda c."
Informações relevantes a listar:
  • As quantidades a,b,a',b',c,c' são números reais.
  • Para que cada uma das equações represente de fato uma reta, assume-se que (a,b)\neq(0,0) e (a',b')\neq(0,0) (caso contrário a equação não define uma reta no plano).
  • “Retas coincidentes” significa que elas têm exatamente o mesmo conjunto de pontos (x,y) — isto é, todo ponto que satisfaz r_1 também satisfaz r_2, e vice-versa.

Passo 2

Vou provar primeiro a implicação direta mais simples: se existe \lambda\neq0 com \left(a',b'\right)=\lambda(a,b) e c'=\lambda c, então as retas são coincidentes.
Começo escrevendo a equação de r_1:
a x+b y=c.
Multiplico ambos os lados por \lambda (permitido porque \lambda\neq0):
\lambda(a x+b y)=\lambda c.
Reagrupando os coeficientes do lado esquerdo:
(\lambda a)x+(\lambda b)y=\lambda c.
Pelo hipótese \left(a',b'\right)=\lambda(a,b) e c'=\lambda c, a última igualdade é exatamente
a' x+b' y=c',
que é a equação de r_2. Logo cada ponto que satisfaz r_1 também satisfaz r_2. O raciocínio inverso (multiplicar a equação de r_2 por \lambda^{-1}) mostra que cada ponto que satisfaz r_2 satisfaz r_1. Portanto os conjuntos de pontos são iguais: as retas coincidem.

Passo 3

Agora provarei a implicação inversa: se as retas [r_1) e r_2 são coincidentes, então existe \lambda\neq0 com \left(a',b'\right)=\lambda(a,b) e c'=\lambda c.
Começo observando que, sendo coincidentes, as retas têm infinitos pontos em comum (uma reta contém infinitos pontos). Em particular, a interseção r_1\cap r_2 não é um único ponto, é uma reta inteira.
Suponha, por contradição, que \left(a',b'\right) não seja proporcional a (a,b). Então os vetores-normais (a,b) e (a',b') são linearmente independentes, e a matriz de coeficientes
\begin{pmatrix} a & b \\[4pt] a' & b' \end{pmatrix}
tem determinante
\Delta = a b' - a' b \neq 0.
Quando \Delta\neq0, o sistema linear formado pelas duas equações
\begin{cases} a x + b y = c,\\[4pt] a' x + b' y = c' \end{cases}
tem solução única: as duas retas se cortam em exatamente um ponto. Isso contradiz o fato de que, por serem coincidentes, elas têm infinitos pontos em comum. Portanto a suposição está errada e necessariamente (a',b')\] é proporcional a \((a,b): existe \lambda\in\mathbb{R}, \lambda\neq0, tal que
\left(a',b'\right)=\lambda(a,b).]

Passo 4

Resta mostrar que esse mesmo \lambda satisfaz c'=\lambda c. Como as retas coincidem, escolha qualquer ponto (x_0,y_0) que pertença à reta (existem infinitos). Esse ponto satisfaz r_1, então
a x_0 + b y_0 = c.
Também satisfaz r_2, então
a' x_0 + b' y_0 = c'.
Usando \left(a',b'\right)=\lambda(a,b) na segunda igualdade obtemos
\lambda(a x_0 + b y_0) = c'.
Mas a x_0 + b y_0 = c, portanto
\lambda c = c'.
Isso prova c'=\lambda c. Note que \lambda não pode ser zero porque (a',b')=\lambda(a,b) e (a',b')\neq(0,0), então necessariamente \lambda\neq0.

Passo 5

Juntando os dois sentidos da demonstração temos a equivalência completa: as retas r_1 e r_2 são coincidentes se, e somente se, existe \lambda\in\mathbb{R}, \lambda\neq0, tal que
\left(a',b'\right)=\lambda(a,b)\quad\text{e}\quad c'=\lambda c.

Resposta

As retas r_{1}: a x+b y=c e r_{2}: a' x+b' y=c' são coincidentes se, e somente se, existe \lambda\in\mathbb{R}, \lambda\neq0, tal que \left(a',b'\right)=\lambda(a,b) e c'=\lambda c.

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