Corolário 1
As retas
são coincidentes se,
somente se, existe
, tal que
Passo 1
O enunciado dá duas retas escritas na forma linear:
e pede para provar a equivalência "as retas são coincidentes se, e somente se, existe
,
, tal que
Informações relevantes a listar:
- As quantidades
são números reais. - Para que cada uma das equações represente de fato uma reta, assume-se que
e (caso contrário a equação não define uma reta no plano). - “Retas coincidentes” significa que elas têm exatamente o mesmo conjunto de pontos
— isto é, todo ponto que satisfaz também satisfaz , e vice-versa.
Passo 2
Vou provar primeiro a implicação direta mais simples: se existe
com
e
, então as retas são coincidentes.
Começo escrevendo a equação de
:
Multiplico ambos os lados por
(permitido porque
):
Reagrupando os coeficientes do lado esquerdo:
Pelo hipótese
e
, a última igualdade é exatamente
que é a equação de
. Logo cada ponto que satisfaz
também satisfaz
. O raciocínio inverso (multiplicar a equação de
por
) mostra que cada ponto que satisfaz
satisfaz
. Portanto os conjuntos de pontos são iguais: as retas coincidem.
Passo 3
Agora provarei a implicação inversa: se as retas [r_1) e
são coincidentes, então existe
com
e
.
Começo observando que, sendo coincidentes, as retas têm infinitos pontos em comum (uma reta contém infinitos pontos). Em particular, a interseção
não é um único ponto, é uma reta inteira.
Suponha, por contradição, que
não seja proporcional a
. Então os vetores-normais
e
são linearmente independentes, e a matriz de coeficientes
tem determinante
Quando
, o sistema linear formado pelas duas equações
tem solução única: as duas retas se cortam em exatamente um ponto. Isso contradiz o fato de que, por serem coincidentes, elas têm infinitos pontos em comum. Portanto a suposição está errada e necessariamente
: existe
,
, tal que
Passo 4
Resta mostrar que esse mesmo
satisfaz
. Como as retas coincidem, escolha qualquer ponto
que pertença à reta (existem infinitos). Esse ponto satisfaz
, então
Também satisfaz
, então
Usando
na segunda igualdade obtemos
Mas
, portanto
Isso prova
. Note que
não pode ser zero porque
e
, então necessariamente
.
Passo 5
Juntando os dois sentidos da demonstração temos a equivalência completa: as retas
e
são coincidentes se, e somente se, existe
,
, tal que
Resposta
As retas
e
são coincidentes se, e somente se, existe
,
, tal que
e
.