EXEMPLO Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico z=2 x^2+y^2 no ponto (1,1,3).
Solução

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente ao paraboloide elíptico
z = 2x^2 + y^2
no ponto (1,1,3). Vamos usar derivadas parciais para obter os coeficientes angulares e depois aplicar a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z = f(x,y):
partial zpartial x = partialpartial xl(2x^2+y^2r) = 4x,
partial zpartial y = partialpartial yl(2x^2+y^2r) = 2y

Passo 3

Avaliamo-las no ponto (x0,y0)=(1,1):
fx(1,1) = 4cdot1 = 4,
fy(1,1) = 2cdot1 = 2

Passo 4

A fórmula do plano tangente a z=f(x,y) em (x0,y0,z0) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Substituindo x0=1, y0=1, z0=3, fx=4 e fy=2, obtemos
z - 3 = 4,(x - 1) + 2,(y - 1)
Reorganizando, vem
z = 4x + 2y - 3

Resposta

z = 4x + 2y - 3

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