Suponha que R^4 tenha o produto interno euclidiano usual. Utiliza o processo de Gram-Schmidt para transformar a base u1, u2, u3, u4 numa base ortonormal.
u1=(1,1,1,1), u2=(1,1,2,4), u3=(1,2,-4,-3), u4=(3,4,-1,2)

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o processo de Gram–Schmidt na base
lu1,u2,u3,u4rsubsetR^4 com o produto interno usual, de modo a obter uma base ortonormal. Vamos, em cada passo, subtrair de uk as projeções nos vetores já ortonormalizados e depois normalizar.

Passo 2

Começamos por
v1=u1=(1,1,1,1),
cuja norma é
|v1|=raiz1^2+1^2+1^2+1^2=2
Logo
e1=v1|v1|=12(1,1,1,1)

Passo 3

Determinamos
v2=u2-lang<= u2,e1rang<=,e1
Calculamos
lang<= u2,e1rang<= =1+1+2+42=4,
então
v2=(1,1,2,4)-4cdot12(1,1,1,1) =(1,1,2,4)-(2,2,2,2)=(-1,-1,0,2)
A norma é
|v2|=raiz(-1)^2+(-1)^2+0^2+2^2=raiz6,
logo
e2=v2|v2|=1raiz6(-1,-1,0,2)

Passo 4

Agora
v3 =u3 -lang<= u3,e1rang<=,e1 -lang<= u3,e2rang<=,e2
Primeiro
lang<= u3,e1rang<==(1+2-4-3)/2=-2,
de onde
u3-(-2)e1=(1,2,-4,-3)+(1,1,1,1)=(2,3,-3,-2)
Depois
lang<= u3,e2rang<= =(-1)cdot1+(-1)cdot2+0cdot(-4)+2cdot(-3)raiz6 =-1-2-6raiz6=-9raiz6,
então
v3 =(2,3,-3,-2)-l(-9raiz6r)e2 =(2,3,-3,-2)+96(-1,-1,0,2) =(tfrac12,tfrac32,-3,1)
Sua norma é
|v3| =raizl(tfrac12r)^2+l(tfrac32r)^2+(-3)^2+1^2 =raiz12,5=5raiz2,
portanto
e3=v3|v3| =raiz25l(tfrac12,tfrac32,-3,1r) =15raiz2(1,3,-6,2)

Passo 5

Finalmente tentamos
v4 =u4 -lang<= u4,e1rang<=,e1 -lang<= u4,e2rang<=,e2 -lang<= u4,e3rang<=,e3
Fazendo os cálculos análogos, chega-se a
v4=(0,0,0,0),
isto é, u4 fica totalmente no espaço gerado pelos três primeiros vetores. Logo a família original tem posto 3.

Resposta

Uma base ortonormal para spanu1,u2,u3,u4 é
e1=12(1,1,1,1), e2=1raiz6(-1,-1,0,2), e3=15raiz2(1,3,-6,2)

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