Questão 9 Seja
. Mostre que as afirmações abaixo são equivalentes:
(i) a operação induzida sobre as classes laterais à esquerda de
em
é bem definida.
(ii)
, para todo
.
(iii)
, para todo
.
(iv)
é um subgrupo normal de
, ou seja,
, para todo
.
(i) a operação induzida sobre as classes laterais à esquerda de
(ii)
(iii)
(iv)
Passo 1
O enunciado considera um subgrupo
de um grupo
e define uma “multiplicação” entre classes laterais à esquerda de
em
por
Queremos mostrar que as quatro afirmações abaixo são equivalentes, ou seja, cada uma leva às outras:
(i) essa operação está bem definida (não depende de representantes das classes),
(ii) para todo vale
(i) essa operação está bem definida (não depende de representantes das classes),
(ii) para todo
(iii) para todo
vale
(iv)
é normal em
, isto é,
para todo
.
Passo 2
Demonstração de
.
Suponha a operação bem definida. Seja e seja
. Note que
porque
. Também
. Então, aplicando a operação às duas igualdades de classes temos
Suponha a operação bem definida. Seja
Como a operação é bem definida, o membro direito vale
Por outro lado, a definição de produto de cosets dá
Logo
o que implica
. Mas
era
. Concluímos
para todo
e todo
, ou seja,
.
Passo 3
Demonstração de
.
Suponha para todo
. Para verificar que a multiplicação de classes está bem definida, tomemos
Suponha
Então existem
tais que
Logo
Pelo hipótese
e
, então
. Portanto
isto é,
resulta na mesma classe que
. Assim a operação é bem definida.
Passo 4
Equivalência
.
Se para todo
, então trocando
por
obtemos
Se
Com isso temos ambas inclusões e daí
Recíproco imediato: se
então em particular
.
Passo 5
Equivalência
.
Se , multiplicando à direita por
vem
Se
E o recíproco também é claro:
implica
.
Resposta
As afirmações (i), (ii), (iii) e (iv) são todas equivalentes.