Questão 9 Seja H<G. Mostre que as afirmações abaixo são equivalentes:
(i) a operação induzida sobre as classes laterais à esquerda de H em G é bem definida.
(ii) g * H * g^prime subseteq H, para todo g in G.
(iii) g * H * g^prime=H, para todo g in G.
(iv) H é um subgrupo normal de G, ou seja, g * H=H * g, para todo g in G.

Passo 1

O enunciado considera um subgrupo H de um grupo G e define uma “multiplicação” entre classes laterais à esquerda de H em G por
(gH)*(g'H)= (gg')H
Queremos mostrar que as quatro afirmações abaixo são equivalentes, ou seja, cada uma leva às outras:
(i) essa operação está bem definida (não depende de representantes das classes),
(ii) para todo gin G vale
g,H,g^-1subseteq H,
(iii) para todo gin G vale
g,H,g^-1= H,
(iv) H é normal em G, isto é, gH=Hg para todo gin G.

Passo 2

Demonstração de (i)implies(ii).
Suponha a operação bem definida. Seja gin G e seja hin H. Note que gH=(gh)H porque hin H. Também g^-1H=(g^-1)H. Então, aplicando a operação às duas igualdades de classes temos
(gH)*(g^-1H);=;(gh,H)*(g^-1H)
Como a operação é bem definida, o membro direito vale
(gh,g^-1)H ;=; hH
Por outro lado, a definição de produto de cosets dá
(gH)*(g^-1H) ;=;(g,g^-1)H = eH =H
Logo
hH =H,
o que implica hin H. Mas h era g,h,g^-1. Concluímos
g,h,g^-1in H,
para todo hin H e todo gin G, ou seja, gHg^-1subseteq H.

Passo 3

Demonstração de (ii)implies(i).
Suponha gHg^-1subseteq H para todo g. Para verificar que a multiplicação de classes está bem definida, tomemos
gH = g1H e g'H = g2H
Então existem h,kin H tais que
g = g1,h, g' = g2,k
Logo
gg' = g1,h,g2,k = g1,g2;l(g2^-1hg2r),k
Pelo hipótese g2^-1hg2in H e kin H, então l(g2^-1hg2r)kin H. Portanto
gg' H = g1,g2,H,
isto é, (gH)*(g'H) resulta na mesma classe que (g1H)*(g2H). Assim a operação é bem definida.

Passo 4

Equivalência (ii)iff(iii).
Se gHg^-1subseteq H para todo g, então trocando g por g^-1 obtemos
g^-1H,gsubseteq H ;Longrightarrow; H = g,l(g^-1H,gr),g^-1subseteq gHg^-1
Com isso temos ambas inclusões e daí
gHg^-1=H
Recíproco imediato: se gHg^-1=H então em particular gHg^-1subseteq H.

Passo 5

Equivalência (iii)iff(iv).
Se gHg^-1=H, multiplicando à direita por g vem
gH = H,g
E o recíproco também é claro: gH=Hg implica gHg^-1=H,g,g^-1=H.

Resposta

As afirmações (i), (ii), (iii) e (iv) são todas equivalentes.

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