Questão 7 Sejam G um grupo finito e K<H<G. Mostre que (G: K)=(G: H)(H: K). Caso G seja infinito, a afirmação também é verdadeira? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um grupo finito G e subgrupos K<H<G, vale
(G:K);=;(G:H),(H:K),
onde (G:K) é o número de cosets à esquerda de K em G. Depois perguntam se essa mesma igualdade permanece verdadeira quando G for infinito. Para resolver precisamos usar a noção de cosets e contagem de conjuntos (finitos e, depois, infinitos via cardinalidade).

Passo 2

Como primeira ideia, listamos os cosets de H em G e os de K em H. Seja
g1H,dots,gmH o conjunto de todos os cosets de (H) em (G),
onde m=(G:H), e seja
h1K,dots,hnK o conjunto de todos os cosets de (K) em (H),
onde n=(H:K). Então cada coset de H em G se escreve giH e cada coset de K em H se escreve hjK.

Passo 3

Agora note que cada coset de K em G é da forma
gK
para algum gin G. Como g pertence a algum coset giH, escrevemos g=gi,h com hin H. Esse h por sua vez pertence a algum coset hjK. Logo
gK ;=;(gi,h),K ;=;gi,(hK)
Define-se então a aplicação
phicolon G/Klongrightarrow (G/H)times(H/K), phi(gK) = l(giH,;hjKr)
É fácil checar que phi é bijetora, pois cada par (giH,hjK) corresponde exatamente ao coset (gi,hj)K em G.

Passo 4

Se G for finito, então G/K, G/H e H/K são conjuntos finitos de tamanhos (G:K), (G:H) e (H:K). A bijeção phi implica
(G:K) = l|G/Kr| ;=;l|G/Htimes H/Kr| ;=;(G:H),cdot,(H:K),
pois em conjuntos finitos vale lvert Xtimes Yrvert=lvert Xrvertcdotlvert Yrvert. Isso prova a fórmula para grupos finitos.

Passo 5

Quando G é infinito a mesma bijeção phi continua valendo e passa a comparar cardinais em vez de números naturais. Por definição de produto de cardinais,
l|G/Kr| ;=;l|G/Htimes H/Kr| ;=;l|G/Hr|;cdot;l|H/Kr|
Logo, interpretando (G:K), (G:H) e (H:K) como cardinais, mantemos
(G:K) ;=; (G:H),(H:K)
também para G infinito.

Resposta

(G:K) ;=; (G:H),(H:K),
e a afirmação vale tanto para G finito quanto para G infinito (desde que os índices sejam encarados como cardinais).

Exercícios relacionados