Questão 7 Sejam um grupo finito e . Mostre que . Caso seja infinito, a afirmação também é verdadeira? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um grupo finito e subgrupos , vale
onde é o número de cosets à esquerda de em . Depois perguntam se essa mesma igualdade permanece verdadeira quando for infinito. Para resolver precisamos usar a noção de cosets e contagem de conjuntos (finitos e, depois, infinitos via cardinalidade).
Passo 2
Como primeira ideia, listamos os cosets de em e os de em . Seja
onde , e seja
onde . Então cada coset de em se escreve e cada coset de em se escreve .
Passo 3
Agora note que cada coset de em é da forma
para algum . Como pertence a algum coset , escrevemos com . Esse por sua vez pertence a algum coset . Logo
Define-se então a aplicação
É fácil checar que é bijetora, pois cada par corresponde exatamente ao coset em .
Passo 4
Se for finito, então , e são conjuntos finitos de tamanhos , e . A bijeção implica
pois em conjuntos finitos vale lvert Xtimes Yrvert=lvert Xrvertcdotlvert Yrvert. Isso prova a fórmula para grupos finitos.
Passo 5
Quando G é infinito a mesma bijeção phi continua valendo e passa a comparar cardinais em vez de números naturais. Por definição de produto de cardinais,