todas pertencem a W. Defina em W as operações usuais de adição de matrizes e de multiplicação de matriz por escalar. Explique porque W não é um subespaço vetorial de M2 times 1(R).
Passo 1
O enunciado define
com as operações usuais de matriz. Para ser subespaço vetorial de , precisaria satisfazer:
conter o vetor zero,
ser fechado sob soma,
ser fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos rapidamente que o vetor zero
00
está em W, pois 0+0=0 é par.
Passo 3
Testamos a fechamento sob soma. Se
e estão em , então e são pares. A soma dos dois vetores é
e é soma de dois números pares, logo par. Portanto é fechado sob soma.
Passo 4
Testamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Escolhemos v=24in W pois 2+4=6 é par, e o escalar lambda=tfrac12. Então
lambda v = tfrac1224 = 12
Mas 1+2=3 não é par, logo lambda vnotin W. Isso mostra que W não é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
W não é subespaço vetorial porque falha o fechamento em multiplicação por escalar (por exemplo, tfrac12,[2,4]^Tnotin W).