Seja W=[la b] in M2 times 1(R) rvert, a+b é par . Por exemplo,
[l 2 4 ], [r 0 -8 ], [l 3 5 ], e [l 0 0 ]
todas pertencem a W. Defina em W as operações usuais de adição de matrizes e de multiplicação de matriz por escalar. Explique porque W não é um subespaço vetorial de M2 times 1(R).

Passo 1

O enunciado define
com as operações usuais de matriz. Para ser subespaço vetorial de , precisaria satisfazer:
  1. conter o vetor zero,
  2. ser fechado sob soma,
  3. ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos rapidamente que o vetor zero
00
está em W, pois 0+0=0 é par.

Passo 3

Testamos a fechamento sob soma. Se
e estão em , então e são pares. A soma dos dois vetores é
e é soma de dois números pares, logo par. Portanto é fechado sob soma.

Passo 4

Testamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Escolhemos
v=24in W pois 2+4=6 é par, e o escalar lambda=tfrac12. Então
lambda v = tfrac1224 = 12
Mas 1+2=3 não é par, logo lambda vnotin W. Isso mostra que W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

W não é subespaço vetorial porque falha o fechamento em multiplicação por escalar (por exemplo, tfrac12,[2,4]^Tnotin W).

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