Exemplo 8: 0 dono de uma média empresa decide investigar a alegação de seus empregados de que o salário médio na sua empresa é menor que o salário médio nacional. Para isso, ele analisa uma amostra de 25 salários, obtendo uma média 894,53 reais e desvio padrão de 32 reais. De informações obtidas junto ao sindicato, sabe-se que em nível nacional, o salário médio é de 900 reais. Supondo que seja razoável aproximar a distribuição dos salários por uma distribuição normal, construa um teste de hipótese adequado com um nível de significância de 10%.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o salário médio na empresa é realmente menor que o salário médio nacional. Para isso, vamos usar Teste de Hipótese, que é uma ferramenta estatística para ajudar a tomar decisões com base em dados. Precisamos dos dados fornecidos: média da amostra (894,53 reais), desvio padrão (32 reais), tamanho da amostra (25) e a média nacional (900 reais). Também vamos precisar do nível de significância, que aqui é de 10%.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que queremos testar. A hipótese nula ( H0) geralmente representa a ideia de que não há efeito ou diferença, enquanto a hipótese alternativa ( Ha) representa o que queremos provar.
  • Hipótese Nula ( H0): O salário médio da empresa é igual ou maior que o salário médio nacional. Matematicamente:
    H0: mu >= 900
  • Hipótese Alternativa ( Ha): O salário médio da empresa é menor que o salário médio nacional. Matematicamente:
    Ha: mu < 900

Passo 3

Vamos estabelecer o nível de significância, que é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira. Aqui, o nível de significância é de 10%, ou seja, alpha = 0,10.

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor do teste estatístico. Como temos uma amostra pequena (n=25) e o desvio padrão da população não é conhecido, usamos o Teste t de Student. A fórmula para o teste t é:
t = barx - mu0sraizn
Onde:
  • barx é a média da amostra (894,53),
  • mu0 é a média hipotética (900),
  • s é o desvio padrão da amostra (32),
  • n é o tamanho da amostra (25).
Substituindo os valores:
t = 894,53 - 90032raiz25 = -5,47325 = -5,476,4 approx -0,853

Passo 5

Vamos determinar o valor crítico para o teste. Como o teste é unilateral (queremos saber se é menor), e o nível de significância é 10%, olhamos a tabela t para $ \alpha = 0,10 $ e $ df = n - 1 = 24 $ graus de liberdade.
Consultando a tabela t, encontramos que o valor crítico $ t_{0,10} $ para 24 graus de liberdade é aproximadamente -1,318.

Passo 6

Agora, compararemos o valor calculado de t com o valor crítico:
-0,853 > -1,318
Como o valor calculado de t (-0,853) é maior que o valor crítico (-1,318), não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos cálculos, não há evidências suficientes para afirmar que o salário médio na empresa é menor que o salário médio nacional ao nível de significância de 10%. Ou seja, não podemos concluir que a média salarial da empresa seja inferior à média nacional.

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