Dê um exemplo de duas funções f(x) e g(x) tais que lim x 1 f(x)=infty, lim x 1 g(x)=infty tais que
lim x 1 f(x)g(x)=2

Passo 1

O enunciado pede duas funções f(x) e g(x) tais que limxto1f(x)=infty, limxto1g(x)=infty e ainda limxto1f(x)g(x)=2. O conteúdo principal é limites que resultam em forma infty/infty e técnicas de comparação de crescimento.

Passo 2

Uma forma simples de obter divergência para xto1 em ambas as funções é escolher potências positivas de x-1 no denominador, pois (x-1)^2to0 e assim suas recíprocas vão a +infty.

Passo 3

Para garantir que o quociente f/g tenda a 2, basta colocar um fator 2 em f(x). Assim definimos as funções
f(x)=2(x-1)^2, g(x)=1(x-1)^2

Passo 4

Agora conferimos: ambas as funções têm limite +infty em xto1 porque o denominador tende a zero positivo, e
limxto1f(x)g(x)=limxto12/(x-1)^21/(x-1)^2=2

Resposta

f(x)=2(x-1)^2, g(x)=1(x-1)^2

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