Dê um exemplo de duas funções f(x) e g(x) tais que lim x 1 f(x)=infty, lim x 1 g(x)=infty tais que
lim x 1 f(x)g(x)=infty

Passo 1

A gente quer duas funções que explodam quando x→1 (ou seja, cada uma vai pra ∞) e ao mesmo tempo a razão f(x)/g(x) também vá pra ∞ — isso é um caso de forma indeterminada ∞/∞, mas com dominância clara de f sobre g.

Passo 2

Uma forma prática é escolher potências diferentes do fator (1−x) no denominador. Por exemplo, definimos
f(x)=1(1-x)^2,
que tem p=2, e
g(x)=1|1-x|,
que tem p=1.

Passo 3

Agora verificamos os limites. Primeiro,
limxto1f(x)=limxto11(1-x)^2=+infty,
pois o quadrado do denominador vai a zero e o recíproco disso explode. Do mesmo modo,
limxto1g(x)=limxto11|1-x|=+infty
Por fim, a razão é
f(x)g(x)=1/(1-x)^21/|1-x|= rac|1-x|(1-x)^2=1|1-x|,
que claramente vai a +∞ quando x→1. Assim temos o que se pedia.

Resposta

Uma escolha é
f(x)=1(1-x)^2,
g(x)=1|1-x|,
pois wtedy limxto1f(x)=limxto1g(x)=+infty e limxto1f(x)/g(x)=+infty.

Exercícios relacionados