Exercícios: Fazer uma representação gráfica do domínio das seguintes funções:
f(x, y)=\ln (x-y)

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine e represente graficamente o domínio da função
f(x,y)=\ln(x - y).
Este problema envolve achar onde o argumento do logaritmo é positivo, pois \ln(t) só está definido para t>0.

Passo 2

Escrevemos a condição de existência de f:
x - y > 0.
Isto é uma inequação linear em x e y.

Passo 3

A fronteira dessa região é a reta dada por
x - y = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad y = x.
Como queremos x - y>0, mantemos o lado da reta em que x>y. Note que a reta em si (onde x=y) fica excluída, pois ali \ln(0) não está definido.

Passo 4

Para desenhar o domínio no plano (x,y):
  1. Trace a reta y = x com traço fino (ela é a fronteira).
  2. Sombreie o semiplano que fica abaixo dessa reta, isto é, todos os pontos (x,y) tais que y<x.
  3. Deixe a reta y=x com traço pontilhado ou contínuo, mas sem preenchê-la (região aberta).

Resposta

O domínio de f é o semiplano aberto
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x - y > 0\},
isto é, todos os pontos do plano que ficam abaixo da reta y = x, sem incluir a própria reta.

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