Exemplo 3: Encontre a solução geral das EDO’s abaixo, usando o método do polinômio característico.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária
Informações relevantes dadas:
O objetivo é achar a família de soluções gerais
com constantes arbitrárias.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): tentamos uma solução do tipo exponencial
onde
é um número (possivelmente complexo) a ser determinado. Por que essa escolha? Porque derivar
apenas multiplica por
:
Substituir uma função cujas derivadas são proporcionais a ela facilita transformar a equação diferencial em uma equação algébrica para
.
Passo 3
Substituindo
na EDO obtemos:
Como
para todo
, podemos cancelar
e obter o polinômio característico
Passo 4
Agora vamos resolver o polinômio característico. Testamos raízes racionais simples: testar
:
logo
é uma raiz. Então o polinômio é divisível por
. Vamos dividir
por
(mostro a divisão sintética):
Coeficientes:
. Usando
:
O quociente é
e o resto é
. Portanto
Passo 5
Fatoramos o quadrático:
pois
e
— na verdade verificamos que
. Assim as raízes do polinômio característico são
Passo 6
Regra para construir a solução geral (explicação): para cada raiz real distinta
do polinômio característico aparece uma solução da forma
. Se uma raiz real
tem multiplicidade
, então aparecem
soluções linearmente independentes
Isto acontece porque ao aplicar o operador diferencial as combinações com potências de
produzem novos termos independentes que ainda satisfazem a EDO quando a raiz é múltipla.
Passo 7
Aplicando a regra às raízes encontradas: para
(multiplicidade 1) temos a solução
. Para
(multiplicidade 2) temos as soluções
e
. Assim a solução geral é combinação linear dessas três soluções independentes:
onde
são constantes reais arbitrárias.