Exemplo 3: Encontre a solução geral das EDO’s abaixo, usando o método do polinômio característico.
y^{\prime \prime \prime}+3 y^{\prime \prime}-4 y=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária
y^{\prime\prime\prime}+3y^{\prime\prime}-4y=0.
Informações relevantes dadas:
\text{A EDO é linear, homogênea e de coeficientes constantes, de ordem }3.éê
O objetivo é achar a família de soluções gerais y(x) com constantes arbitrárias.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): tentamos uma solução do tipo exponencial
y(x)=e^{rx},
onde r é um número (possivelmente complexo) a ser determinado. Por que essa escolha? Porque derivar e^{rx} apenas multiplica por r:
y' = r e^{rx},\quad y'' = r^2 e^{rx},\quad y''' = r^3 e^{rx}.
Substituir uma função cujas derivadas são proporcionais a ela facilita transformar a equação diferencial em uma equação algébrica para r.

Passo 3

Substituindo y=e^{rx} na EDO obtemos:
r^3 e^{rx} + 3 r^2 e^{rx} - 4 e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos cancelar e^{rx} e obter o polinômio característico
r^3 + 3r^2 - 4 = 0.

Passo 4

Agora vamos resolver o polinômio característico. Testamos raízes racionais simples: testar r=1:
1^3 + 3\cdot1^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0,
logo r=1 é uma raiz. Então o polinômio é divisível por (r-1). Vamos dividir r^3+3r^2+0\cdot r-4 por (r-1) (mostro a divisão sintética):
Coeficientes: 1,\;3,\;0,\;-4. Usando r=1:
\begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 3 & 0 & -4\\hline & & 1 & 4 & 4\\\ & 1 & 4 & 4 & 0 \end{array}
O quociente é r^2+4r+4 e o resto é 0. Portanto
r^3+3r^2-4=(r-1)(r^2+4r+4).

Passo 5

Fatoramos o quadrático:
r^2+4r+4=(r+2)^2,
pois 4=2\cdot2 e 4+4=8 — na verdade verificamos que (r+2)^2=r^2+4r+4. Assim as raízes do polinômio característico são
r_1=1\quad\text{(multiplicidade 1)},\qquad r_2=-2\quad\text{(multiplicidade 2)}.

Passo 6

Regra para construir a solução geral (explicação): para cada raiz real distinta r do polinômio característico aparece uma solução da forma e^{rx}. Se uma raiz real r tem multiplicidade m>1, então aparecem m soluções linearmente independentes
e^{rx},\; x e^{rx},\; x^2 e^{rx},\;\dots,\; x^{m-1} e^{rx}.
Isto acontece porque ao aplicar o operador diferencial as combinações com potências de x produzem novos termos independentes que ainda satisfazem a EDO quando a raiz é múltipla.

Passo 7

Aplicando a regra às raízes encontradas: para r_1=1 (multiplicidade 1) temos a solução e^{x}. Para r_2=-2 (multiplicidade 2) temos as soluções e^{-2x} e x e^{-2x}. Assim a solução geral é combinação linear dessas três soluções independentes:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-2x}+C_{3}x e^{-2x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes reais arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+(C_{2}+C_{3}x)e^{-2x}

Exercícios relacionados