Exemplo 3: Encontre a solução geral das EDO’s abaixo, usando o método do polinômio característico.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária homogênea de terceira ordem
Informações dadas relevantes: são coeficientes constantes (3, 5, 10 e
) e a equação é homogênea (lado direito igual a zero). O objetivo é determinar
geral, com as constantes arbitrárias que aparecem na solução.
Passo 2
Idéia do método (passo-a-passo e explicação didática): para EDOs lineares com coeficientes constantes costumamos tentar uma solução do tipo
onde
é um número (possivelmente complexo). Por que isso funciona? Porque derivando essa função obtemos fatores simples:
Substituindo essas expressões na EDO todos os termos ficam com o fator comum
, que é nunca nulo, então podemos cancelar
e obter uma equação polinomial para
. Essa equação polinomial é chamada de polinômio característico e suas raízes determinam a forma da solução geral.
Passo 3
Formando o polinômio característico: substituindo
na EDO obtemos
Agora precisamos encontrar as raízes desse polinômio cúbico. Pelo Teorema das raízes racionais, candidatos racionais são da forma
divisores de
sobre divisores de
:
. Testamos
:
Calculando em partes:
, então
Logo
é uma raiz. Isso significa que o polinômio é divisível por
. Fazendo a divisão (ou fatorando) obtemos
Para verificar rapidamente, multiplique os fatores:
confirma.
Passo 4
Encontrando as outras raízes resolvendo a quadrática
Usamos a fórmula quadrática
, onde aqui
,
,
. Calculamos o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas conjugadas:
Passo 5
Interpretação das raízes e construção da solução geral: cada raiz real simples
dá um termo
. Para uma raiz complexa
(com
reais e
), as duas raízes conjugadas produzem soluções reais combinadas da forma
onde
e
são constantes reais arbitrárias. No nosso caso as raízes são:
Para a raiz real
obtemos o termo
. Para a dupla complexa com
e
obtemos o termo
Passo 6
Escrevendo a solução geral e explicando as constantes: juntando os termos gerados por cada raiz, a solução geral da EDO é
onde
são constantes reais arbitrárias que serão determinadas por condições iniciais (se fornecidas). Intuição rápida: o primeiro termo é uma exponencial crescente lenta (
) e o segundo é uma exponencial decrescente (
) modulada por oscilações de frequência
.