Exemplo 3: Encontre a solução geral das EDO’s abaixo, usando o método do polinômio característico.
3 y^{\prime \prime \prime}+5 y^{\prime \prime}+10 y^{\prime}-4 y=0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária homogênea de terceira ordem
3y^{\prime\prime\prime}+5y^{\prime\prime}+10y^{\prime}-4y=0.
Informações dadas relevantes: são coeficientes constantes (3, 5, 10 e -4) e a equação é homogênea (lado direito igual a zero). O objetivo é determinar y(x) geral, com as constantes arbitrárias que aparecem na solução.

Passo 2

Idéia do método (passo-a-passo e explicação didática): para EDOs lineares com coeficientes constantes costumamos tentar uma solução do tipo
y(x)=e^{rx},
onde r é um número (possivelmente complexo). Por que isso funciona? Porque derivando essa função obtemos fatores simples:
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^2 e^{rx},\qquad y^{\prime\prime\prime}=r^3 e^{rx}.
Substituindo essas expressões na EDO todos os termos ficam com o fator comum e^{rx}, que é nunca nulo, então podemos cancelar e^{rx} e obter uma equação polinomial para r. Essa equação polinomial é chamada de polinômio característico e suas raízes determinam a forma da solução geral.

Passo 3

Formando o polinômio característico: substituindo y=e^{rx} na EDO obtemos
3r^3 + 5r^2 + 10r - 4 = 0.
Agora precisamos encontrar as raízes desse polinômio cúbico. Pelo Teorema das raízes racionais, candidatos racionais são da forma \pm divisores de 4 sobre divisores de 3: \pm 1,\pm2,\pm4,\pm\frac{1}{3},\pm\frac{2}{3},\pm\frac{4}{3}. Testamos \;r=\frac{1}{3}\;:
3\left(\tfrac{1}{3}\right)^3 + 5\left(\tfrac{1}{3}\right)^2 + 10\left(\tfrac{1}{3}\right) -4 =3\cdot\tfrac{1}{27}+5\cdot\tfrac{1}{9}+ \tfrac{10}{3}-4 =\tfrac{1}{9}+\tfrac{5}{9}+\tfrac{10}{3}-4.
Calculando em partes: \tfrac{1}{9}+\tfrac{5}{9}=\tfrac{6}{9}=\tfrac{2}{3}, então
\tfrac{2}{3}+\tfrac{10}{3}-4=\tfrac{12}{3}-4=4-4=0.
Logo r=\tfrac{1}{3} é uma raiz. Isso significa que o polinômio é divisível por 3r-1. Fazendo a divisão (ou fatorando) obtemos
3r^3+5r^2+10r-4=(3r-1)(r^2+2r+4).
Para verificar rapidamente, multiplique os fatores:
(3r-1)(r^2+2r+4)=3r^3+6r^2+12r - r^2 -2r -4 =3r^3+5r^2+10r-4,
confirma.

Passo 4

Encontrando as outras raízes resolvendo a quadrática
r^2+2r+4=0.
Usamos a fórmula quadrática \;r=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\;, onde aqui a=1, b=2, c=4. Calculamos o discriminante:
\Delta = b^2-4ac = 2^2 - 4\cdot1\cdot4 = 4-16 = -12.
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{-2\pm\sqrt{-12}}{2} = \frac{-2\pm 2i\sqrt{3}}{2} = -1 \pm i\sqrt{3}.

Passo 5

Interpretação das raízes e construção da solução geral: cada raiz real simples r_1 dá um termo C e^{r_1 x}. Para uma raiz complexa r=\alpha\pm i\beta (com \alpha,\beta reais e \beta\neq0), as duas raízes conjugadas produzem soluções reais combinadas da forma
e^{\alpha x}\big(A\cos(\beta x)+B\sin(\beta x)\big),
onde A e B são constantes reais arbitrárias. No nosso caso as raízes são:
r_1=\tfrac{1}{3}\quad\text{(real)},\qquad r_{2,3}=-1\pm i\sqrt{3}\quad\text{(complexas)}.
Para a raiz real r_1=\tfrac{1}{3} obtemos o termo C_1 e^{\tfrac{1}{3}x}. Para a dupla complexa com \alpha=-1 e \beta=\sqrt{3} obtemos o termo
e^{-x}\big(C_2\cos(\sqrt{3}\,x)+C_3\sin(\sqrt{3}\,x)\big).

Passo 6

Escrevendo a solução geral e explicando as constantes: juntando os termos gerados por cada raiz, a solução geral da EDO é
y(x)=C_1 e^{\tfrac{1}{3}x} + e^{-x}\big(C_2\cos(\sqrt{3}\,x)+C_3\sin(\sqrt{3}\,x)\big),
onde C_1,C_2,C_3 são constantes reais arbitrárias que serão determinadas por condições iniciais (se fornecidas). Intuição rápida: o primeiro termo é uma exponencial crescente lenta ( e^{x/3}) e o segundo é uma exponencial decrescente ( e^{-x}) modulada por oscilações de frequência \sqrt{3}.

Resposta

y(x)=C_1 e^{\tfrac{1}{3}x} + e^{-x}\big(C_2\cos(\sqrt{3}\,x)+C_3\sin(\sqrt{3}\,x)\big)

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