Estude a diferenciabilidade da função
Passo 1
O enunciado pede que a gente estude a diferenciabilidade da função
Informações relevantes e o que está sendo pedido:
- A função está definida para todos os pontos
porque e a raiz quadrada é bem definida. - Tipicamente a dificuldade aparece no ponto
, pois a expressão costuma dar problema na origem. - Precisamos decidir, para cada ponto
, se é diferenciável ali. Em particular: (i) estudar diferenciabilidade em pontos e (ii) estudar diferenciabilidade em .
Passo 2
Definição prática de diferenciabilidade em
(com linguagem simples): dizer que
é diferenciável em um ponto
significa que existe um mapa linear
(que será dado pelo gradiente) tal que, quando a gente aproxima
por
,
No caso de funções reais de duas variáveis, se as derivadas parciais
e
existem num ponto e são contínuas numa vizinhança desse ponto, então
é diferenciável aí; e se
for diferenciável então as derivadas parciais existem e os coeficientes de
são exatamente essas derivadas parciais (ou seja,
). Vou usar esse fato para os pontos fora da origem, e para a origem vou verificar diretamente as derivadas parciais e/ou a definição.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais para
. Primeiro isolo a parte problemática:
Se
então
e posso derivar usando a regra da cadeia. Para a variável
,
Analogamente para
,
Agora volto para
. As derivadas parciais de
são fáceis:
e
. Portanto, para todo
temos
Essas expressões são funções contínuas em todo ponto com
(a divisão por
é válida e as expressões não têm salto). Pelo critério mencionado no passo anterior (existência e continuidade das parciais numa vizinhança), concluímos que
é diferenciável em todo ponto
com
. O diferencial (gradiente) em tais pontos é
Passo 4
Agora trato da origem
. Uma maneira simples de ver se
pode ser diferenciável em
é verificar as derivadas parciais em
. Se
fosse diferenciável em
então as derivadas parciais existem e coincidem com os componentes do diferencial. Vou calcular os quocientes incrementais.
Derivada parcial em
na origem:
Mas
não existe, porque para
o quociente vale
e para
vale
. Portanto
não existe.
Derivada parcial em
na origem:
Aqui também a expressão
não tem limite quando
porque o termo
oscila entre
e o
se anula. Logo
também não existe.
Passo 5
Conclusão para a origem: como sequer as derivadas parciais existem em
, a função não pode ser diferenciável em
(diferenciabilidade implicaria existência das parciais). Intuição rápida e geométrica:
é a distância ao ponto
; a função distância tem “ponta” na origem e não admite um plano tangente linear único ali. Somar
não resolve essa ponta: o termo
é suave, mas a falta de suavidade da distância domina na origem.