Estude a diferenciabilidade da função
f(x, y)=y^{2}+\sqrt{x^{2}+y^{2}} .

Passo 1

O enunciado pede que a gente estude a diferenciabilidade da função
f(x,y)=y^{2}+\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Informações relevantes e o que está sendo pedido:
  • A função está definida para todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^{2} porque x^{2}+y^{2}\ge 0 e a raiz quadrada é bem definida.
  • Tipicamente a dificuldade aparece no ponto (0,0), pois a expressão \sqrt{x^{2}+y^{2}} costuma dar problema na origem.
  • Precisamos decidir, para cada ponto (x,y), se f é diferenciável ali. Em particular: (i) estudar diferenciabilidade em pontos (x,y)\neq(0,0) e (ii) estudar diferenciabilidade em (0,0).

Passo 2

Definição prática de diferenciabilidade em \mathbb{R}^{2} (com linguagem simples): dizer que f é diferenciável em um ponto a=(a_{1},a_{2}) significa que existe um mapa linear L:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} (que será dado pelo gradiente) tal que, quando a gente aproxima h=(h_{1},h_{2}) por 0,
\frac{f(a+h)-f(a)-L(h)}{\|h\|}\to 0.
No caso de funções reais de duas variáveis, se as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y existem num ponto e são contínuas numa vizinhança desse ponto, então f é diferenciável aí; e se f for diferenciável então as derivadas parciais existem e os coeficientes de L são exatamente essas derivadas parciais (ou seja, L(h)=f_x(a)h_{1}+f_y(a)h_{2}). Vou usar esse fato para os pontos fora da origem, e para a origem vou verificar diretamente as derivadas parciais e/ou a definição.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais para (x,y)\neq(0,0). Primeiro isolo a parte problemática:
g(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Se (x,y)\neq(0,0) então x^{2}+y^{2}>0 e posso derivar usando a regra da cadeia. Para a variável x,
\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^{2}+y^{2}} =\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}) =\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\cdot 2x =\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Analogamente para y,
\frac{\partial}{\partial y}\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Agora volto para f(x,y)=y^{2}+g(x,y). As derivadas parciais de y^{2} são fáceis: \partial (y^{2})/\partial x=0 e \partial (y^{2})/\partial y=2y. Portanto, para todo (x,y)\neq(0,0) temos
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Essas expressões são funções contínuas em todo ponto com x^{2}+y^{2}>0 (a divisão por \sqrt{x^{2}+y^{2}} é válida e as expressões não têm salto). Pelo critério mencionado no passo anterior (existência e continuidade das parciais numa vizinhança), concluímos que f é diferenciável em todo ponto (x,y) com (x,y)\neq(0,0). O diferencial (gradiente) em tais pontos é
\nabla f(x,y)=\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\;2y+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right).

Passo 4

Agora trato da origem (0,0). Uma maneira simples de ver se f pode ser diferenciável em (0,0) é verificar as derivadas parciais em (0,0). Se f fosse diferenciável em (0,0) então as derivadas parciais existem e coincidem com os componentes do diferencial. Vou calcular os quocientes incrementais.
Derivada parcial em x na origem:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{0^{2}+\sqrt{h^{2}+0}-0}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{|h|}{h}.
Mas \lim_{h\to 0}\frac{|h|}{h} não existe, porque para h>0 o quociente vale 1 e para h<0 vale -1. Portanto \partial f/\partial x(0,0) não existe.
Derivada parcial em y na origem:
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{h^{2}+\sqrt{0+h^{2}}-0}{h} =\lim_{h\to 0}\left(h+\frac{|h|}{h}\right).
Aqui também a expressão \displaystyle h+\frac{|h|}{h} não tem limite quando h\to 0 porque o termo \frac{|h|}{h} oscila entre \pm 1 e o h se anula. Logo \partial f/\partial y(0,0) também não existe.

Passo 5

Conclusão para a origem: como sequer as derivadas parciais existem em (0,0), a função não pode ser diferenciável em (0,0) (diferenciabilidade implicaria existência das parciais). Intuição rápida e geométrica: \sqrt{x^{2}+y^{2}} é a distância ao ponto (0,0); a função distância tem “ponta” na origem e não admite um plano tangente linear único ali. Somar y^{2} não resolve essa ponta: o termo y^{2} é suave, mas a falta de suavidade da distância domina na origem.

Resposta

f é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\} e não é diferenciável em (0,0).

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