O secador rotativo de uma máquina de lavar tem uma aceleração angular constante de 3 \mathrm{rev} / \mathrm{s}^{2}, partindo do repouso. Determine quantas revoluções o mesmo realiza (a) em 11 s , a (b) do quinto ao sexto segundo

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados:
\alpha = 3\\ \mathrm{rev/s^{2}}
\omega_{0} = 0\\ \mathrm{rev/s}\\ \text{(parte do repouso)}
Pedidos:
(a) Quantas revoluções o tambor realiza em \,11\\ \mathrm{s}?
(b) Quantas revoluções realiza do quinto ao sexto segundo (isto é, no intervalo de t=5\\ \mathrm{s} a t=6\\ \mathrm{s})?
Observação: vamos medir deslocamento angular em revoluções, já que a aceleração foi dada em \mathrm{rev/s^{2}}.

Passo 2

Fórmula útil para movimento de rotação com aceleração angular constante: a posição angular (deslocamento em revoluções) em função do tempo é
\theta(t)=\omega_{0}t+\tfrac{1}{2}\alpha t^{2}.
Explicando essa fórmula passo a passo:
  • \theta(t) é o deslocamento angular acumulado até o instante t, medido em revoluções.
  • \omega_{0} é a velocidade angular inicial (em \mathrm{rev/s}). Aqui \omega_{0}=0.
  • \alpha é a aceleração angular constante (em \mathrm{rev/s^{2}}).
    A origem desta fórmula vem de integrar a velocidade angular quando \omega(t)=\omega_{0}+\alpha t: integrar em t \theta(t)=\int_{0}^{t}\omega(t')\,dt'=\omega_{0}t+\tfrac{1}{2}\alpha t^{2}.

Passo 3

Calcular (a): número de revoluções em \,11\\ \mathrm{s}.
Usamos a fórmula com \omega_{0}=0, \alpha=3 e t=11:
\theta(11)=0\cdot 11 + \tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 11^{2}.
Calculemos em etapas:
\tfrac{1}{2}\cdot 3 = 1{,}5,
11^{2}=121,
\theta(11)=1{,}5\cdot 121 = 181{,}5\\ \mathrm{rev}.

Passo 4

Verificação e interpretação rápida (opcional, mas clarifica): a velocidade angular no instante t é
\omega(t)=\omega_{0}+\alpha t = 0 + 3t = 3t\\ \mathrm{rev/s}.
Em t=11 temos \omega(11)=33\\ \mathrm{rev/s}. Aumentando a velocidade ao longo do tempo, faz sentido que o número total de revoluções seja grande ( 181{,}5 aqui).

Passo 5

Calcular (b): número de revoluções do quinto ao sexto segundo, ou seja
\Delta\theta = \theta(6)-\theta(5).
Calcule \theta(6):
\theta(6)=\tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 6^{2}=1{,}5\cdot 36 = 54\\ \mathrm{rev}.
Calcule \theta(5):
\theta(5)=\tfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 5^{2}=1{,}5\cdot 25 = 37{,}5\\ \mathrm{rev}.
Subtraindo:
\Delta\theta = 54 - 37{,}5 = 16{,}5\\ \mathrm{rev}.

Passo 6

Outra forma curta de ver (mesma conta, só para intuição): a velocidade angular em t=5 é \omega(5)=3\cdot 5=15\\ \mathrm{rev/s} e em t=6 é \omega(6)=18\\ \mathrm{rev/s}. Como a aceleração é constante, a velocidade média no intervalo é (15+18)/2=16{,}5\\ \mathrm{rev/s}. Multiplicando pelo intervalo \Delta t=1\\ \mathrm{s} 16{,}5\\ \mathrm{rev}, igual ao resultado acima.

Resposta

(a) \,181{,}5\\ \mathrm{rev}
(b) \,16{,}5\\ \mathrm{rev}

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