Resolva as E.D.O.'s e os P.V.I.'s a seguir:
c6 y^prime prime+8 y^prime-9 y=0 y(1)=1 y^prime(1)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a E.D.O. linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
6,y'' + 8,y' - 9,y = 0
e as condições iniciais
y(1)=1, y'(1)=0
O método é: (i) achar a equação característica, (ii) obter as raízes r1,r2, (iii) escrever a solução geral y=C1e^r1x+C2e^r2x e (iv) aplicar as condições iniciais para determinar C1,C2.

Passo 2

Para resolver usamos a substituição y=e^rx, de onde
y' = r e^rx, y'' = r^2 e^rx
Substituindo em 6y''+8y'-9y=0 obtemos a equação característica:
6r^2 + 8r - 9 = 0

Passo 3

Resolvendo
6r^2 + 8r - 9 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara com De<a = 8^2 - 4cdot6cdot(-9)=64+216=280. Assim
r = -8pmraiz2802cdot6 = -8pm2raiz7012 = -4pmraiz706
Definimos
r1 = -4+raiz706, r2 = -4-raiz706

Passo 4

Como as raízes são distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x

Passo 5

Para simplificar a aplicação das condições iniciais em x=1, reescrevemos a solução em termos de x-1:
y(x) = A,e^r1(x-1) + B,e^r2(x-1)
Nesse formato temos facilmente
y(1)=A+B=1, y'(x)=A,r1 e^r1(x-1) + B,r2 e^r2(x-1),
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y'(1)=A,r1 + B,r2 = 0
Resolvendo o sistema
A + B = 1, A,r1 + B,r2 = 0,
encontra-se
A = -r2r1 - r2, B = r1r1 - r2

Passo 6

Substituindo A e B em y(x) obtemos a forma final
y(x) = -r2r1 - r2,e^r1(x-1) + r1r1 - r2,e^r2(x-1) = r1,e^r2(x-1) - r2,e^r1(x-1)r1 - r2

Resposta

boxed y(x) = r1,e^r2(x-1) ;-; r2,e^r1(x-1) r1 - r2, r1,2 = -4pmraiz706

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