Exemplo 1.4 Considere os dados iniciais do Exemplo 1.2. Após uma falha no sistema de pressão, suspeita-se que a máquina esteja operando com sub-enchimento, ou seja, entregando um volume médio menor que o padrão exigido. Uma amostra aleatória de 100 frascos foi coletada, revelando uma média de 995 ml . Teste a hipótese de que a máquina está entregando menos produto que o nominal, ao nível de
de significância.
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte:
- Dados fornecidos no enunciado: uma amostra aleatória de tamanho
com média amostral . - Nível de significância:
. - Objetivo: testar se a máquina está entregando menos produto que o padrão (ou seja, testar se a média verdadeira é menor que o valor nominal exigido).
Informações que o enunciado refere a outro exemplo (Exemplo 1.2) e que são necessárias mas NÃO foram incluídas aqui:
- o valor do volume nominal exigido, isto é o parâmetro
(por exemplo, é um valor típico, mas isso não foi explicitado no enunciado que recebi); - a informação sobre a variância/população: se o desvio-padrão populacional
é conhecido (ou então o desvio-padrão amostral da amostra). Sem ou não dá para calcular numericamente a estatística de teste exata.
Conclusão deste passo: temos o tamanho
, a média amostral
e
, mas faltam
e
(ou
). Portanto, não é possível chegar a um número final sem essas informações. A seguir eu explico, passo a passo, como proceder no exame dependendo do que estiver disponível e mostro um exemplo numérico com a escolha usual
e
apenas para ilustrar o cálculo (vou avisar quando for uma suposição).
Passo 2
Formule as hipóteses do teste (texto e interpretação):
- Hipótese nula (o que queremos testar):
— a máquina está preenchendo corretamente com a média nominal . - Hipótese alternativa (o que queremos demonstrar):
— a máquina está entregando menos produto (teste unilateral à esquerda).
Observação didática: em palavras, estamos verificando se a média verdadeira do volume é menor que o valor exigido. Por ser “menor que”, usamos um teste unilateral à esquerda.
Passo 3
Escolha do teste e estatística — explicar as duas situações que podem ocorrer no exame:
Caso A — desvio-padrão populacional conhecido (
conhecido):
- Usa-se o teste z.
- A estatística de teste é
- Sob
, segue aproximadamente a distribuição normal padrão . - Regra de decisão (critério crítico): rejeitar
se , onde é o quantil da normal padrão tal que . Para e teste unilateral à esquerda, . Alternativamente, calcular o p-valor e comparar com .
Explicação didática das fórmulas:
-
é a média amostral observada. -
é o erro padrão da média (quanto a média amostral costuma variar em torno da média verdadeira). - Dividimos a diferença
pelo erro padrão para transformar a diferença em unidades de desvio padrão, que permite usar a tabela da normal.
Caso B — desvio-padrão populacional desconhecido (
desconhecido):
- Usa-se o teste t de Student.
- A estatística de teste é
onde
é o desvio-padrão amostral.
- Sob
, segue a distribuição com graus de liberdade. - Regra de decisão: rejeitar
se , onde é o quantil da distribuição tal que . Para grandes (por exemplo ) os quantis se aproximam dos quantis da normal padrão.
Dica prática para a prova: se o enunciado disser explicitamente que a variância populacional é conhecida, use
. Se não disser, normalmente usa-se
com
. Quando
é grande (como
), tanto faz na prática porque
aproxima muito a normal.
Passo 4
Como calcular o p-valor e interpretar:
- Para o teste
: p-valor com calculado. - Para o teste
: p-valor . - Interpretação: se
-valor , rejeita-se (e há evidência de sub-enchimento). Se -valor , não se rejeita (não há evidência suficiente).
Explicação didática do p-valor: é a probabilidade, assumindo que a máquina está correta (
verdadeira), de observar uma média tão baixa quanto a que vimos (ou mais baixa). Um p-valor pequeno indica que o que observamos é improvável sob
, portanto duvidamos de
.
Passo 5
Aplicação simbólica com os dados que temos (sem assumir
nem
):
- Estatística z simbólica (se
conhecido):
- Estatística t simbólica (se
desconhecido, com desvio amostral ):
Conclusão simbólica: com essas expressões você, na prova, substituiria o valor numérico de
e de
(ou
) vindos do enunciado (ou do Exemplo 1.2). Em seguida compara com o valor crítico ou calcula o p-valor como expliquei.
Passo 6
Exemplo numérico ilustrativo (supondo os valores mais comuns; isto é uma suposição EXPLICITA só para mostrar o cálculo): suponha que o volume nominal exigido seja
e que o desvio-padrão populacional seja
. (Se estes números vierem do Exemplo 1.2, então o cálculo abaixo é o aplicável.)
- Calcule o erro padrão:
- Estatística de teste:
- Valor crítico para teste unilateral à esquerda com
:
- Comparação: como
, a estatística cai na região crítica; rejeita-se . - p-valor:
. Consultando a tabela da normal padrão ou usando aproximação, , ou seja, praticamente zero. Isso confirma a forte evidência contra .
Interpretação do exemplo: sob essas suposições, há evidência estatística muito forte, ao nível de
, de que a máquina está entregando menos do que o nominal.
Passo 7
O que fazer se na prova o enunciado der
mas não disser
nem
:
- Peça mentalmente (no enunciado) ou procure o desvio amostral
. Se for dado, use o teste com graus de liberdade. - Se nem
nem forem dados, explique no enunciado que falta essa informação e rode o teste simbolicamente como em
Passo 8
Resumo prático para a prova (receita de bolso):
- Identifique
, , , , e ou . - Monte
e . - Se
conhecido: calcule . Se não: calcule usando . - Compare com valor crítico (normal:
para unilatera; t: usar tabela com graus) ou calcule p-valor. - Rejeite
se estatística crítico ou se p-valor . Caso contrário, não rejeite. - Escreva a conclusão prática em linguagem comum.
Resposta
Não é possível determinar numericamente a decisão do teste porque o enunciado depende do Exemplo 1.2 que não foi fornecido (faltam
e
ou
).
Assumindo como exemplo e
: rejeita-se
(estatística
,
), logo há evidência de sub-enchimento.
Assumindo como exemplo