Exemplo 1.4 Considere os dados iniciais do Exemplo 1.2. Após uma falha no sistema de pressão, suspeita-se que a máquina esteja operando com sub-enchimento, ou seja, entregando um volume médio menor que o padrão exigido. Uma amostra aleatória de 100 frascos foi coletada, revelando uma média de 995 ml . Teste a hipótese de que a máquina está entregando menos produto que o nominal, ao nível de 5 \% de significância.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte:
  • Dados fornecidos no enunciado: uma amostra aleatória de tamanho n=100 com média amostral \bar{x}=995\\ \text{ml}.
  • Nível de significância: \alpha=5\%.
  • Objetivo: testar se a máquina está entregando menos produto que o padrão (ou seja, testar se a média verdadeira é menor que o valor nominal exigido).
Informações que o enunciado refere a outro exemplo (Exemplo 1.2) e que são necessárias mas NÃO foram incluídas aqui:
  • o valor do volume nominal exigido, isto é o parâmetro \mu_0 (por exemplo, 1000\\ \text{ml} é um valor típico, mas isso não foi explicitado no enunciado que recebi);
  • a informação sobre a variância/população: se o desvio-padrão populacional \sigma é conhecido (ou então o desvio-padrão amostral s da amostra). Sem \sigma ou s não dá para calcular numericamente a estatística de teste exata.
Conclusão deste passo: temos o tamanho n, a média amostral \bar{x} e \alpha, mas faltam \mu_0 e \sigma (ou s). Portanto, não é possível chegar a um número final sem essas informações. A seguir eu explico, passo a passo, como proceder no exame dependendo do que estiver disponível e mostro um exemplo numérico com a escolha usual \mu_0=1000\\ \text{ml} e \sigma=10\\ \text{ml} apenas para ilustrar o cálculo (vou avisar quando for uma suposição).

Passo 2

Formule as hipóteses do teste (texto e interpretação):
  • Hipótese nula (o que queremos testar): H_0:\mu=\mu_0 — a máquina está preenchendo corretamente com a média nominal \mu_0.
  • Hipótese alternativa (o que queremos demonstrar): H_1:\mu<\mu_0 — a máquina está entregando menos produto (teste unilateral à esquerda).
Observação didática: em palavras, estamos verificando se a média verdadeira do volume é menor que o valor exigido. Por ser “menor que”, usamos um teste unilateral à esquerda.

Passo 3

Escolha do teste e estatística — explicar as duas situações que podem ocorrer no exame:
Caso A — desvio-padrão populacional conhecido ( \sigma conhecido):
  • Usa-se o teste z.
  • A estatística de teste é
Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
  • Sob H_0, Z segue aproximadamente a distribuição normal padrão \mathcal{N}(0,1).
  • Regra de decisão (critério crítico): rejeitar H_0 se Z<z_{\alpha}, onde z_{\alpha} é o quantil da normal padrão tal que P(Z\le z_{\alpha})=\alpha. Para \alpha=0{,}05 e teste unilateral à esquerda, z_{\alpha} = -1{,}645. Alternativamente, calcular o p-valor p = P(Z\le z_{\text{obs}}) e comparar com \alpha.
Explicação didática das fórmulas:
  • \bar{X} é a média amostral observada.
  • \sigma/\sqrt{n} é o erro padrão da média (quanto a média amostral costuma variar em torno da média verdadeira).
  • Dividimos a diferença \bar{X}-\mu_0 pelo erro padrão para transformar a diferença em unidades de desvio padrão, que permite usar a tabela da normal.
Caso B — desvio-padrão populacional desconhecido ( \sigma desconhecido):
  • Usa-se o teste t de Student.
  • A estatística de teste é
T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},
onde s é o desvio-padrão amostral.
  • Sob H_0, T segue a distribuição t com n-1 graus de liberdade.
  • Regra de decisão: rejeitar H_0 se T<t_{n-1,\alpha}, onde t_{n-1,\alpha} é o quantil da distribuição t tal que P(T\le t_{n-1,\alpha})=\alpha. Para grandes n (por exemplo n=100) os quantis t se aproximam dos quantis da normal padrão.
Dica prática para a prova: se o enunciado disser explicitamente que a variância populacional é conhecida, use Z. Se não disser, normalmente usa-se T com s. Quando n é grande (como 100), tanto faz na prática porque T aproxima muito a normal.

Passo 4

Como calcular o p-valor e interpretar:
  • Para o teste Z: p-valor = P(Z\le z_{\text{obs}}) com z_{\text{obs}} calculado.
  • Para o teste T: p-valor = P(T_{n-1}\le t_{\text{obs}}).
  • Interpretação: se p-valor \le \alpha, rejeita-se H_0 (e há evidência de sub-enchimento). Se p-valor >\alpha, não se rejeita H_0 (não há evidência suficiente).
Explicação didática do p-valor: é a probabilidade, assumindo que a máquina está correta ( H_0 verdadeira), de observar uma média tão baixa quanto a que vimos (ou mais baixa). Um p-valor pequeno indica que o que observamos é improvável sob H_0, portanto duvidamos de H_0.

Passo 5

Aplicação simbólica com os dados que temos (sem assumir \mu_0 nem \sigma):
  • Estatística z simbólica (se \sigma conhecido):
Z=\frac{995-\mu_0}{\sigma/\sqrt{100}}=\frac{995-\mu_0}{\sigma/10}.
  • Estatística t simbólica (se \sigma desconhecido, com desvio amostral s):
T=\frac{995-\mu_0}{s/\sqrt{100}}=\frac{995-\mu_0}{s/10}.
Conclusão simbólica: com essas expressões você, na prova, substituiria o valor numérico de \mu_0 e de \sigma (ou s) vindos do enunciado (ou do Exemplo 1.2). Em seguida compara com o valor crítico ou calcula o p-valor como expliquei.

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (supondo os valores mais comuns; isto é uma suposição EXPLICITA só para mostrar o cálculo): suponha que o volume nominal exigido seja \mu_0=1000\\ \text{ml} e que o desvio-padrão populacional seja \sigma=10\\ \text{ml}. (Se estes números vierem do Exemplo 1.2, então o cálculo abaixo é o aplicável.)
  • Calcule o erro padrão:
\text{Erro padrão}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{10}{\sqrt{100}}=\frac{10}{10}=1\\ \text{ml}.ã
  • Estatística de teste:
Z=\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{995-1000}{1}=\frac{-5}{1}=-5.
  • Valor crítico para teste unilateral à esquerda com \alpha=0{,}05:
z_{\alpha}=-1{,}645.
  • Comparação: como -5 < -1{,}645, a estatística cai na região crítica; rejeita-se H_0.
  • p-valor: p = P(Z\le -5). Consultando a tabela da normal padrão ou usando aproximação, p\approx 2{,}87\times10^{-7}, ou seja, praticamente zero. Isso confirma a forte evidência contra H_0.
Interpretação do exemplo: sob essas suposições, há evidência estatística muito forte, ao nível de 5\%, de que a máquina está entregando menos do que o nominal.

Passo 7

O que fazer se na prova o enunciado der \mu_0 mas não disser \sigma nem s:
  • Peça mentalmente (no enunciado) ou procure o desvio amostral s. Se s for dado, use o teste t com n-1 graus de liberdade.
  • Se nem \sigma nem s forem dados, explique no enunciado que falta essa informação e rode o teste simbolicamente como em

Passo 8

Resumo prático para a prova (receita de bolso):
  1. Identifique \mu_0, \alpha, \bar{x}, n, e \sigma ou s.
  2. Monte H_0:\mu=\mu_0 e H_1:\mu<\mu_0.
  3. Se \sigma conhecido: calcule Z. Se não: calcule T usando s.
  4. Compare com valor crítico (normal: -1{,}645 para \alpha=0{,}05 unilatera; t: usar tabela com n-1 graus) ou calcule p-valor.
  5. Rejeite H_0 se estatística \le crítico ou se p-valor \le \alpha. Caso contrário, não rejeite.
  6. Escreva a conclusão prática em linguagem comum.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a decisão do teste porque o enunciado depende do Exemplo 1.2 que não foi fornecido (faltam \mu_0 e \sigma ou s).
Assumindo como exemplo \mu_0=1000\\ \text{ml} e \sigma=10\\ \text{ml}: rejeita-se H_0 (estatística Z=-5, p\approx2{,}87\times10^{-7}), logo há evidência de sub-enchimento.

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