Exemplo 6.

a) As equações diferenciais de primeira ordem
(d yd x)^2+1=0 e y^prime 2+y^2+4=0
não possuem soluções. Por que?
b) A equação de segunda ordem (y^prime prime)^2+10 y^4=0 possui somente uma solução real. Qual?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) Mostrar que as equações diferenciais de primeira ordem
l(tfracdydxr)^2+1=0 e y'^2+y^2+4=0
não admitem soluções reais.
b) Determinar a única solução real da equação de segunda ordem
l(y''r)^2+10,y^4=0
Para isso vamos usar o fato de que, para todo número real u, vale u^2>=0, e que a soma de termos não negativos só pode ser zero se cada termo for zero.

Passo 2

Analisando
l(tfracdydxr)^2+1=0,
note que l(tfracdydxr)^2>=0 e, portanto,
l(tfracdydxr)^2+1>=0+1=1>0
para todo x. Logo não pode igualar zero, e não existe função real y(x) que satisfaça essa equação.

Passo 3

Analogamente, em
y'^2+y^2+4=0
temos y'^2>=0 e y^2>=0, de modo que
y'^2+y^2+4>=0+0+4=4>0
Nunca é zero, portanto não há solução real para essa ODE de primeira ordem.

Passo 4

Na equação de segunda ordem
l(y''r)^2+10,y^4=0,
cada parcela é não negativa: l(y''r)^2>=0 e 10,y^4>=0. A soma só pode ser zero se
l(y''r)^2=0 e y^4=0
Da primeira vem y''(x)=0, e da segunda vem y(x)=0. Integrando y''=0 obtemos y(x)=A,x+B, mas como yequiv0 devemos ter A=0 e B=0.

Resposta

A única solução real da equação de segunda ordem é
y(x)equiv 0
E as equações do item (a) não têm solução real porque somam termos quadráticos não negativos a uma constante positiva, o que impede que o total seja zero.

Exercícios relacionados