Exemplo 6.
a) As equações diferenciais de primeira ordem
não possuem soluções. Por que?
b) A equação de segunda ordem
possui somente uma solução real. Qual?
b) A equação de segunda ordem
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
a) Mostrar que as equações diferenciais de primeira ordem
a) Mostrar que as equações diferenciais de primeira ordem
não admitem soluções reais.
b) Determinar a única solução real da equação de segunda ordem
b) Determinar a única solução real da equação de segunda ordem
Para isso vamos usar o fato de que, para todo número real
, vale
, e que a soma de termos não negativos só pode ser zero se cada termo for zero.
Passo 2
Analisando
note que
e, portanto,
para todo
. Logo não pode igualar zero, e não existe função real
que satisfaça essa equação.
Passo 3
Analogamente, em
temos
e
, de modo que
Nunca é zero, portanto não há solução real para essa ODE de primeira ordem.
Passo 4
Na equação de segunda ordem
cada parcela é não negativa:
e
. A soma só pode ser zero se
Da primeira vem
, e da segunda vem
. Integrando
obtemos
, mas como
devemos ter
e
.
Resposta
A única solução real da equação de segunda ordem é
E as equações do item (a) não têm solução real porque somam termos quadráticos não negativos a uma constante positiva, o que impede que o total seja zero.