Determinar uma solução particular para cada uma das seguintes equações diferencial sujeitas às condições iniciais dadas.
d yd x=cosec x-y cot x ; y(pi / 2)=3 pi / 2

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
dydx = csc x - ycot x
com condição inicial y(pi/2)=3pi/2.
É uma EDO linear de 1ª ordem na forma
dydx + P(x),y = Q(x),
onde P(x)=cot x e Q(x)=csc x.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(integral cot x,dxr) = expl(ln|sin x|r) = sin x

Passo 3

Multiplicamos a EDO por mu(x)=sin x, obtendo
sin x;dydx + y,sin xcot x = sin xcsc x Longrightarrow l(sin x,yr)' = 1
Integrando em x, vem
sin x,y = x + C

Passo 4

Daí a solução geral é
y = x + Csin x
Impondo y(pi/2)=3pi/2 e usando sin(pi/2)=1,
pi/2 + C1 = 3pi2 Longrightarrow C = pi

Resposta

y(x) = x + pisin x

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