Nos Problemas 29 e 30, encontre valores de m para que y=e^m x seja uma solução para cada equação diferencial.
29. x^2 y^prime prime-y=0

Passo 1

Neste exercício vamos testar a função y = e^m x na equação diferencial x^2 y'' - y = 0. O conteúdo é método de tentativa de solução exponencial de equações lineares, e vamos precisar calcular derivadas e substituir na EDO.

Passo 2

Calcular as derivadas: como y = e^m x, temos y' = m e^m x e y'' = m^2 e^m x. A teoria aqui é que a derivada de uma exponencial traz um fator m.

Passo 3

Substituir na equação: inserindo y'' e y em x^2 y'' - y = 0
x^2 cdot m^2 e^m x ;-; e^m x ;=; 0
Fatorando e^m xneq0, obtemos a condição algébrica m^2 x^2 - 1 = 0.

Passo 4

Resolver a condição algébrica: de m^2 x^2 - 1 = 0 vem m^2 = 1x^2 e portanto m = pm 1x. Como isso depende de x, não há valor constante de m que satisfaça a equação para todos x.

Resposta

Não existe valor constante de m que torne y=e^m x solução de x^2y''-y=0.

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